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第47页

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

1或2

解：$ (1)$当$AC、$$CD、$$DB$满足$CD^2=AC·DB$时，$\triangle ACP\backsim \triangle PDB。$

理由：∵$\triangle PCD$是等边三角形，

∴$∠PCD=∠PDC=60^\circ ，$$PD=CD=CP。$

∴$∠ACP=∠PDB=120^\circ 。$

∴当$\frac {AC}{PD}=\frac {CP}{DB}，$即$\frac {AC}{CD}=\frac {CD}{DB}$时，$\triangle ACP\backsim \triangle PDB。$

∴当$CD^2=AC·DB$时，$\triangle ACP\backsim \triangle PDB。$

$(2)$∵$\triangle ACP\backsim \triangle PDB，$

∴$∠A=∠BPD。$

∵$\triangle PCD$是等边三角形，

∴$∠CPD=∠DCP=60^\circ 。$

∴$∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=∠APC+∠CPD+∠A$

$=∠DCP+∠CPD=120^\circ$

解：根据题意，得$AD=BC=6\,\text{cm}，$$CD=AB=3\,\text{cm}，$

$∠D=∠MAN=90^\circ 。$

设运动时间为$t\,\text{s}，$则$MA=t\,\text{cm}，$$NA=(6-2t)\,\text{cm}。$

分两种情况讨论：

$① $当$\triangle ACD\backsim \triangle MNA$时，$\frac {AD}{MA}=\frac {CD}{NA}，$

∴$\frac {6}{t}=\frac {3}{6-2t}，$解得$t=2.4。$

$② $当$\triangle ACD\backsim \triangle NMA$时，$\frac {AD}{NA}=\frac {CD}{MA}，$

∴$\frac {6}{6-2t}=\frac {3}{t}，$解得$t=1.5。$

综上所述，当运动时间为$2.4\,\text{s}$或$1.5\,\text{s}$时，以$A、$$M、$$N$为顶点的三角形

与$\triangle ACD$相似。