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解： (1)设BC=x。
∵将矩形ABCD绕点A按顺时针方向旋转90°，得到矩形AB'C'D'，
∴点A、B、D'在同一条直线上，AD'=AD=BC=x，D'C'=AB'=AB=1，∠BAD=∠D'=90°。
∴D'B=AD' - AB=x - 1，D'C'∥DA。
又∵点C'在线段DB的延长线上，
∴∠D'C'B=∠ADB。
∴△D'C'B∽△ADB。
∴$\frac{D'C'}{AD}=\frac{D'B}{AB}。$
∴$\frac{1}{x}=\frac{x - 1}{1}，$
解得x₁=$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}，$x₂=$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$（不合题意，舍去），即BC=$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
(2)DM=D'M
理由：连接DD'。
∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M=∠D'AC'。
由题意，易得AD'=DA，∠AD'C'=∠DAB=90°，D'C'=AB，
∴△AC'D'≌△DBA。
∴∠D'AC'=∠ADB。
∴∠ADB=∠AD'M。
∵AD=AD'，
∴∠ADD'=∠AD'D。
∴∠ADD' - ∠ADB=∠AD'D - ∠AD'M。
∴∠MDD'=∠MD'D。
∴DM=D'M
(3)关系式：MN²=PN·DN
证明：连接AM。
∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴△AD'M≌△ADM。
∴∠MAD'=∠MAD。
∵∠AMN=∠MAD + ∠NDA，∠NAM=∠MAD' + ∠NAP，
∴∠AMN=∠NAM。
∴MN=AN。
∵∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△NAP∽△NDA。
∴$\frac{PN}{AN}=\frac{AN}{DN}。$
∴AN²=PN·DN。
∴MN²=PN·DN
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