解：$(1)$∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$DA = AB，$$∠BAD=∠ABF = 90°。$
∴$∠PAD+∠BAF = 90°。$
∵$DE\perp AF，$
∴$∠APD = 90°。$
∴$∠PAD+∠ADE = 90°。$
∴$∠ADE=∠BAF。$
在$\triangle DAE$和$\triangle ABF $中，
∵$∠ADE=∠BAF，$$DA = AB，$$∠DAE=∠ABF，$
∴$\triangle DAE\cong \triangle ABF。$
∴$AE = BF。$
$(3)$过点$E$作$ET\perp CD$于点$T，$则$∠ETG=∠ETC = 90°。$
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB = BC，$$∠ABC=∠C = 90°。$
∴四边形$BCTE$是矩形，$∠ABF=∠ETG。$
∴$ET = BC = AB，$$BE = TC，$$∠BET=∠AET = 90°。$
∴$∠AEP+∠TEG = 90°。$
∵$AF\perp EG，$
∴$∠APE = 90°。$
∴$∠AEP+∠BAF = 90°。$
∴$∠BAF=∠TEG。$
在$\triangle ABF $和$\triangle ETG_{中}，$
$\begin {cases}∠BAF=∠TEG\\AB = ET\\∠ABF=∠ETG\end {cases}，$
∴$\triangle ABF\cong \triangle ETG。$
∴$BF = TG=x。$
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD = AB = CD = 2，$$AD// BC，$$DG// BE。$
易得$\triangle BPF\sim \triangle DPA，$$\triangle BPE\sim \triangle DPG。$
∴$\frac {BP}{DP}=\frac {BF}{DA}，$$\frac {BE}{DG}=\frac {BP}{DP}。$
∴$\frac {BE}{DG}=\frac {BF}{DA}。$
∴$\frac {BE}{y}=\frac {x}{2}。$
∴$BE = TC=\frac {1}{2}xy。$
∵$TG = CD - DG - TC，$
∴$x = 2 - y-\frac {1}{2}xy。$
∴$y=\frac {4 - 2x}{x + 2}(0\leqslant x\leqslant 2)。$
