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证明：（1）连接OA．
∵OB=OA，
∴∠OAB=∠ABE．
∵∠ABE=∠CAE，
∴∠OAB=∠CAE．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°．
∴∠OAE=∠CAE+∠OAC=∠OAC+∠OAB=∠BAC=90°．
∴AE⊥OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线
（2）
∵$S_{\triangle ABC}=3S_{\triangle ADC}，$
∴$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADC}}=3$．
∵CD⊥AE，
∴∠CDE=∠ADC=90°．
∴∠BAC=∠ADC=90°．
∵∠ABC=∠DAC，
∴△BAC∽△ADC．
∴$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADC}}=(\frac{BC}{AC})^2$．
∴$\frac{BC}{AC}=\sqrt{3}$（负值舍去）．
∴$BC=\sqrt{3}AC$．
在Rt△BAC中，$BA=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{(\sqrt{3}AC)^2-AC^2}=\sqrt{2}AC$．
∵∠ABE=∠CAE，∠E=∠E，
∴△ABE∽△CAE．
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{BA}{AC}$．
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{\sqrt{2}AC}{AC}=\sqrt{2}$．
∵CE=12，
∴$AE=\sqrt{2}CE=12\sqrt{2}$．
∴AE的长为$12\sqrt{2}$
解：​$(1)$​由题意，分三种情况讨论：
​$①AC^2=AB·BC，$​
∴​$AC=\sqrt {6}($​负值舍去​$)；$​
​$②AB^2=AC·BC，$​
∴​$AC=\frac {4}{3}；$​
​$③BC^2=AB·AC，$​
∴​$AC=\frac {9}{2}．$​
综上所述，​$AC$​的长为​$\sqrt {6}$​或​$\frac {4}{3}$​或​$\frac {9}{2} $​
​$(2)$​∵​$AD∥BC，$​
∴​$∠ACB=∠DAC．$​
又∵​$∠BAC=∠CDA，$​
∴​$△ABC∽△DCA．$​
∴​$\frac {BC}{CA}=\frac {CA}{AD}，$​即​$CA^2=BC·AD．$​
∵​$AD∥BC，$​
∴​$∠ADB=∠CBD．$​
∵​$BD$​平分​$∠ABC，$​
∴​$∠ABD=∠CBD．$​
∴​$∠ADB=∠ABD．$​
∴​$AD=AB．$​
∴​$CA^2=BC·AB．$​
∴​$△ABC$​是比例三角形
​$(3)$​过点​$A$​作​$AH⊥BD$​于点​$H．$​
∵​$AD=AB，$​​$AH⊥BD，$​
∴​$∠BHA=90°，$​​$BH=\frac {1}{2}BD．$​
∵​$AD∥BC，$​​$∠CDA=90°，$​
∴​$∠BCD=180°-∠CDA=90°．$​
∴​$∠BHA=∠BCD=90°．$​
又∵​$∠ABH=∠DBC，$​
∴​$△ABH∽△DBC．$​
∴​$\frac {AB}{DB}=\frac {BH}{BC}，$​即​$AB·BC=BH·DB．$​
∴​$AB·BC=\frac {1}{2}BD^2．$​
又∵​$AB·BC=AC^2，$​
∴​$\frac {1}{2}BD^2=AC^2．$​
∴​$\frac {BD}{AC}=\sqrt {2}$​
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