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证明：​$(1) $​连接​$ OE、$​​$AE。$​
∵​$AB $​为​$ \odot O $​的直径，
∴​$∠AEB = 90°，$​即​$ AE\perp BC。$​
∵​$AB = AC，$​
∴​$ $​易得​$ BE = CE。$​
∵​$OB = OA，$​
∴​$OE// AC。$​
又 ∵​$HF\perp AC，$​
∴​$OE\perp HF。$​
∵​$OE $​是​$ \odot O $​的半径，
∴​$HF $​是​$ \odot O $​的切线。
​$(2)$​过点​$E$​作​$EG⊥AH$​于点​$G.$​
∵在​$Rt△BGE$​中，​$cos∠ABE=\frac {1}{3}，$​​$EB=6，$​
∴​$BG=EB·cos∠ABE=2.$​
∴​$EG=\sqrt {EB^2-BG^2}=4\sqrt {2}.$​
∵在​$Rt△BEA$​中，​$cos∠ABE=\frac {1}{3}，$​​$EB=6，$​
∴​$AB=\frac {EB}{\cos ∠ABE}=18.$​
∴​$OB=OE=\frac {1}{2}AB=9.$​
∴​$GO=OB-BG=7.$​
∵​$EG⊥AH，$​​$OE⊥HF，$​
∴​$∠H+∠HEG=90°，$​​$∠GEO+∠HEG=90°.$​
∴​$∠H=∠GEO.$​
∴在​$Rt△EGO$​中，​$tanH=tan∠GEO=\frac {GO}{EG}=\frac {7}{4\sqrt {2}}=\frac {7\sqrt {2}}{8}$​
证明：​$(1) $​连接​$ OB 。$​
∵​$BE $​是​$ \odot O $​的切线，
∴​$OB \perp BE。$​
∴​$∠OBD + ∠EBD = 90°。$​
∵​$AD $​是​$ \odot O $​的直径，
∴​$∠ABD = 90°。$​
∴​$∠ABO + ∠OBD = 90°。$​
∴​$∠EBD = ∠ABO。$​
∵​$OA = OB，$​
∴​$∠OAB = ∠ABO。$​
∴​$∠OAB = ∠EBD。$​
∵​$BD = BC，$​
∴​$\overset {\frown }{BD} = \overset {\frown }{BC}。$​
∴​$∠BAD = ∠CAB。$​
∴​$∠EBD = ∠CAB。$​
​$(2)$​连接​$CD，$​交​$OB$​于点​$M.$​
∵​$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{BC}，$​
∴​$CM=MD，$​​$OB⊥CD. $​又
∵​$OA=OD，$​
∴​$OM$​为​$△ACD$​的中位线​$.$​
∴​$OM=\frac {1}{2}AC=\frac {5}{2}. $​
设​$⊙O$​的半径为​$r，$​则​$BM=r-\frac {5}{2}.$​
∵在​$Rt△OMD$​和​$Rt△BMD$​中，
由勾股定理，得​$DM²=OD²-OM²=BD²-BM².$​
∵​$BD=BC=\sqrt {3}，$​
∴​$r²-(\frac {5}{2})²=(\sqrt {3})²-(r-\frac {5}{2})²，$​解得​$r=3($​负值舍去​$).$​
∴​$AD=2r=6.$​
∵​$AD$​是​$⊙O$​的直径，
∴​$∠ACD=90°.$​
∴在​$Rt△ACD$​中，​$sin∠ADC=\frac {AC}{AD}=\frac {5}{6}.$​
∵​$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{AC}，$​
∴​$∠CBA=∠ADC.$​
∴​$sin∠CBA=\frac {5}{6}$​
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{5}$
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