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B
$\frac{1}{2}$
证明：​$ (1) $​∵​$AB$​是​$⊙O$​的直径，
∴​$∠ADB = 90°。$​
∴在​$△ABD$​中，​$∠ABD + ∠BAD = 90°。$​
∵​$BD = CD，$​
∴​$∠C = ∠DBC。$​
∵​$∠C = ∠BAD，$​
∴​$∠DBC = ∠BAD。$​
∴​$∠OBC = ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠BAD = 90°，$​即​$BC⊥AB。$​
∵​$OB$​是​$⊙O$​的半径，
∴​$BC$​为​$⊙O$​的切线。
​$(2)$​如图，过点​$D$​作​$DF⊥BC$​于点​$F.$​
∵​$\overset {\frown }{AD}=\overset {\frown }{AD}，$​
∴​$∠ABD=∠AED.$​
∴​$sin∠ABD=sin∠AED=\frac {\sqrt {10}}{10}.$​
∵在​$Rt△ADB$​中，​$AB=\sqrt {10}，$​​$sin∠ABD=\frac {AD}{AB}，$​
∴​$AD=1，$​​$BD=\sqrt {AB^2-AD^2}=3.$​
∵​$BC⊥AB，$​​$DF⊥BC，$​
∴​$DF∥AB，$​
∴​$∠BDF=∠ABD.$​
∴​$sin∠BDF=sin∠ABD=\frac {\sqrt {10}}{10}.$​
∵在​$Rt△DFB$​中，​$sin∠BDF=\frac {BF}{BD}，$​
∴​$BF=\frac {3\sqrt {10}}{10}.$​
∵​$BD=CD，$​​$DF⊥BC，$​
∴​$BC=2BF=\frac {3\sqrt {10}}{5}.$​
∵四边形​$ABED$​内接于​$⊙O，$​
∴​$∠BEC=∠BAD.$​
∵​$∠C=∠BAD，$​
∴​$∠BEC=∠C.$​
∴​$BE=BC=\frac {3\sqrt {10}}{5}$​

$\frac{4}{5}$
$\frac{1}{4}$
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