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解：过点$D$作$DE\perp BC，$交$BC$的延长线于点$E，$则$∠E = 90°。$

∵在$Rt\triangle BED$中，$\sin ∠DBC=\frac {DE}{BD}=\frac {\sqrt {3}}{3}，$$BD = 2\sqrt {6}，$

∴$DE = 2\sqrt {2}。$

∴$BE=\sqrt {BD^2-DE^2} = 4。$

在$Rt\triangle DCE$中，

∵$CD = 3，$

∴$CE=\sqrt {CD^2-DE^2} = 1。$

∴$BC = BE - CE = 3。$

∴$BC = CD。$

∴$∠CBD=∠CDB。$

∵$BD$平分$∠ABC，$

∴$∠ABD=∠CBD。$

∴$∠ABD=∠CDB。$

∴$AB// CD。$

∵$AB = AD，$

∴$∠ABD=∠ADB。$

∴$∠ADB=∠DBC。$

∴$AD// BC。$

∴四边形$ABCD$是平行四边形。

又∵$AB = AD，$

∴四边形$ABCD$是菱形。

∴$AC\perp BD，$$AO = CO，$$BO = DO=\frac {1}{2}BD=\sqrt {6}。$

∴在$Rt\triangle BOC$中，$OC=\sqrt {BC^2-BO^2}=\sqrt {3}。$

∴$AC = 2OC = 2\sqrt {3}$

$ \frac {4}{3}$

$\frac {\sqrt {21}}7$

解：$ (1) CD$与$\odot O$相切

理由：连接$OD。$

∵$OD = OB，$

∴$∠ODB=∠CBD。$

∵$∠CDA=∠CBD，$

∴$∠CDA = ∠ODB。$

∵$AB$为$\odot O$的直径，

∴$∠ADB=∠ADO+∠ODB = 90°。$

∴$∠ADO+∠CDA = 90°。$

∴$∠CDO = 90°，$即$OD\perp CD。$

∵$OD$是$\odot O$的半径，

∴$CD$与$\odot O$相切。

$(2) $∵$∠CDA=∠CBD，$$\tan ∠CDA=\frac {1}{2}，$

∴$\tan ∠CBD=\frac {1}{2}。$

∴在$Rt\triangle ADB$中，$\tan ∠CBD=\frac {AD}{DB}=\frac {1}{2}。$

∵$∠C=∠C，$$∠CDA=∠CBD，$

∴$\triangle CAD\backsim \triangle CDB。$

∴$\frac {CA}{CD}=\frac {CD}{CB}=\frac {AD}{DB}=\frac {1}{2}。$

∴$CD = 2CA = 4。$

∴$CB = 2CD = 8。$

∴$AB=CB - CA = 8 - 2 = 6。$

∴$OA = OB=\frac {1}{2}AB = 3，$即$\odot O$的半径为$3$

$\frac {3\sqrt {10}}{10}$