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$4\sqrt{2}$
证明：​$(1) $​如图，连接​$ OC 、$​​$ OE 。$​
∵​$\overset {\frown }{EC}=\overset {\frown }{BC}，$​
∴​$∠EOC=∠BOC。$​
∵​$OE = OB，$​
∴​$OC\perp BE。$​
∵​$CD $​是半圆​$ O $​的切线，
∴​$OC\perp CD。$​
∴​$BE// CD。$​
​$(2) $​设半圆​$ O $​的半径为​$ r ，$​则​$ OC = OB = r 。$​
∵​$BD = 1，$​
∴​$OD = r + 1。$​
∵​$OC\perp CD，$​
∴​$ $​在​$ Rt\triangle OCD $​中，
​$\sin D=\frac {OC}{OD}=\frac {2}{3}，$​即​$ \frac {r}{r + 1}=\frac {2}{3}，$​解得​$ r = 2 。$​
∴​$ $​半圆​$ O $​的半径为​$ 2 。$​
∴​$AB = 2r = 4。$​
如图，连接​$ AE 。$​
∵​$AB $​为半圆​$ O $​的直径，
∴​$∠AEB = 90°。$​
∵​$BE// CD，$​
∴​$∠D=∠ABE。$​
∴​$\sin D=\sin ∠ABE=\frac {AE}{AB}=\frac {2}{3}，$​即​$ \frac {AE}{4}=\frac {2}{3}，$​解得​$ AE=\frac {8}{3}。$​
∴​$ $​在​$ Rt\triangle AEB $​中，​$ BE=\sqrt {AB^2-AE^2}=\frac {4}{3}\sqrt {5}。$​
∵​$\overset {\frown }{EC}=\overset {\frown }{BC}，$​
∴​$∠EAC=∠BAC。$​
∴​$AF $​平分​$ ∠BAE。$​
∴​$ $​点​$ F $​到​$ AE 、$​​$ AB $​的距离相等，且等于​$ EF $​的长。
∴​$\frac {S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle ABF}}=\frac {EF}{BF}=\frac {AE}{AB}=\frac {2}{3}。$​
∴​$\frac {EF}{BE}=\frac {2}{5}。$​
∴​$EF=\frac {2}{5}BE=\frac {8}{15}\sqrt {5}。$​

解：$(1) $如图，过点$ B $作$ BE \perp AM $于点$ E 。$
∵$ $斜坡$ AB $的坡度为$ 1：3 ，$
∴$ \frac {BE}{AE}=\frac {1}{3} ，$
∴$ AE = 3BE 。$
∵$ $在$ Rt\triangle ABE $中，$ AB^2=BE^2+AE^2 ，$
∴$ (10\sqrt {10})^2=BE^2+(3BE)^2 ，$
∴$ BE = 10m 。$
答：平台$ BN $的高度为$ 10m 。$
$(2) $如图，延长$ CD $交$ AM $于点$ F 。$
根据题意，得$ BN // AM 。$
∵$ CD \perp BD ，$
∴$ CF \perp AM ，$
∴$ $四边形$ BEFD $为矩形，
∴$ DF = BE = 10m ，$$ BD = EF 。$
设$ CD = xm ，$则$ CF=(x + 10)m 。$
∵$ $在$ Rt\triangle ACF $中，$ ∠CAF = 30° ，$
∴​$ AF=\frac {CF}{\mathrm {tan}30°}=\sqrt {3}(x + 10)m 。$​
∵$ $在$ Rt\triangle CDB $中，$ ∠CBD = 60° ，$
∴$ BD=\frac {CD}{\mathrm {tan}60°}=\frac {\sqrt {3}}{3}xm ，$
∴$ EF=\frac {\sqrt {3}}{3}xm 。$
由$(1)，$得$ AE = 3BE = 30m ，$
∴$ \sqrt {3}(x + 10)-\frac {\sqrt {3}}{3}x = 30 ，$
解得$ x = 15\sqrt {3}-15 。$
答：建筑物的高度为$ (15\sqrt {3}-15)m 。$
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