证明：$(1) $∵四边形$ ABCD $为矩形，
∴$AD// BC，$且$ AD = BC。$
∴$\triangle ADG\backsim \triangle CMG。$
∴$\frac {AG}{CG}=\frac {AD}{CM}。$
∵$ M $为$ BC $的中点，
∴$\frac {BC}{CM}=\frac {AD}{CM}=2。$
∴$\frac {AG}{CG}=2，$即$ AG = 2CG$
$(2) ① $如图$①，$过点$ I $分别作$ IH\perp CD $于点$ H，$$IF\perp BC $于点$ F，$
$IN\perp BD $于点$ N，$连接$ IB。$
设点$ I $到$ BC $的距离为$ x。$
∵$ ∠BCD $与$ ∠BDC $的平分线相交于点$ I，$
∴$IH = IF = IN = x。$
∵$ $四边形$ ABCD $为矩形，
∴$AB = CD = 6，$$∠BCD = 90°。$
∴$ $在$ Rt\triangle BCD $中，$BD=\sqrt {BC^2+CD^2} = 10。$
∵$S_{\triangle BCD}=S_{\triangle IBC}+S_{\triangle ICD}+S_{\triangle IBD}，$
∴$\frac {1}{2}×6×8=\frac {1}{2}×8× IF+\frac {1}{2}×6× IH+\frac {1}{2}×10× IN，$
即$ \frac {1}{2}×6×8=\frac {1}{2}×8x+\frac {1}{2}×6x+\frac {1}{2}×10x，$解得$ x = 2。$
∴$ $点$ I $到$ BC $的距离为$ 2$
② 如图②，过点$ G $作$ GK\perp BC $于点$ K，$$IP\perp BC $于点$ P，$则$ GK// IP。$
设$ AB = m，$$AC = n，$
∵$AB + AC = 2BC，$
∴$BC=\frac {m + n}{2}。$
∵$ $四边形$ ABCD $为矩形，
∴$∠ABC = 90°。$
∴$ $在$ Rt\triangle ABC $中，$\mathrm {m^2}+(\frac {m + n}{2})^2=n^2，$解得$ m_{1}=-n($舍去$)，$$m_{2}=\frac {3}{5}n。$
∴$\triangle BCD $的三边长分别为$ \frac {3}{5}n、$$\frac {4}{5}n、$$n。$
∵$ $同$①$可求出$ IP=\frac {1}{5}n。$
∵$∠ABC=∠GKC = 90°，$$∠GCK=∠ACB，$
∴$\triangle CGK\backsim \triangle CAB。$
∴$\frac {GK}{AB}=\frac {CG}{CA}=\frac {CG}{AG + CG}=\frac {1}{3}。$
∴$GK=\frac {1}{5}n。$
∴$IP = GK。$
∴$ $四边形$ GKPI $为矩形。
∵$EF// BC，$
∴$\triangle DEF\backsim \triangle DBC，$四边形$ GFCK $是矩形。
∴$ $易得$ \frac {EF}{BC}=\frac {DF}{DC}=\frac {2}{3}$
