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解： （1）∵BC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}，$AD=BC，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}。$
∵AB=AC=1，
∴CD=1-$\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}。$AD²=($\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}，$AC·CD=1×$\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}，$
∴AD²=AC·CD。
（2）∵AD=BC，AD²=AC·CD，
∴BC²=AC·CD，即$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CB}。$
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB。
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AB}，$∠BDC=∠ABC，∠DBC=∠A。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD=AD，
∴∠ABD=∠A=∠DBC。
设∠ABD=x，则∠A=∠DBC=x，∠ABC=2x，∠C=2x。
在△ABC中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，
∴∠ABD=36°。
证明：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵S△ABE=S△DCE，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD。
∵F是BC中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=AE。
∵∠EAH=∠FCH，∠AHE=∠CHF，
∴△AEH≌△CFH，
∴AH=CH，
∴H是AC中点。
②∵∠EAH=∠FCH，∠AGE=∠CGB，
∴△AGE∽△CGB，$\frac{AG}{CG}=\frac{AE}{CB}=\frac{1}{2}。$
设AG=2a，则CG=4a，AC=6a，AH=CH=3a，GH=a，
∴AG:GH:HC=2:1:3。
（2）过点M作MQ//BC交CN延长线于Q。
∵AD//BC，
∴△MED∽△MBC，$\frac{EM}{BM}=\frac{ED}{BC}=\frac{1}{2}，$
∴EM=BE。
∵MQ//BC，∠MQE=∠BCE，∠MEQ=∠BEC，EM=EB，
∴△MQE≌△BCE，
∴MQ=BC=AD。
∵MQ//AD，
∴△MQN∽△AEN，$\frac{MN}{AN}=\frac{MQ}{AE}=2，$
∴MN=2AN，
∴AM=3AN。
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