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第137页

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解$：(1)$原式$=\frac {\sqrt {2}}{2}+\frac {\sqrt {3}}{2}×\sqrt {3}-3$

$=\frac {\sqrt {2}}{2}+\frac {3}{2}-3$

$=\frac {\sqrt {2}-3}{2}$

解$：(2)$原式$=2×(\frac {\sqrt {3}}{2})²+3×\frac {1}{2}-4×1+\frac {\sqrt {3}}{3}×\frac {\sqrt {2}}{2}$

$=2×\frac {3}{4}+3×\frac {1}{2}-4+\frac {\sqrt {6}}{6}$

$=\frac {3}{2}+\frac {3}{2}-4+\frac {\sqrt {6}}{6}$

$=\frac {\sqrt {6}}{6}-1$

$=\frac {\sqrt {6}-6}{6}$

解$：(1)$∵$∠C=90°，$$∠B=60°，$

∴$∠A=30°，$

∴$c=2a，$

∵$b=10，$

∴$(2a)^2=a^2+10^2，$

解得，$a=\frac {10\sqrt {3}}{3}，$

∴$c=\frac {20\sqrt {3}}{3}，$

由上可得，$∠A=30°，$$a=\frac {10\sqrt {3}}{3}，$$c=\frac {20\sqrt {3}}{3}.$

解$：(2)$∵$a+b=3+\sqrt {3}，$$∠A=30°，$$∠C=90°，$

∴$c=2a，$$b=3+\sqrt {3}-a，$$∠B=60°，$

∴$(2a)^2=a^2+(3+\sqrt {3}-a)^2，$

解得，$a_{1}=\sqrt {3}，$$a_{2}=-3-2\sqrt {3}($舍去$)，$

∴$b=3，$$c=2\sqrt {3}，$

由上可得，$a=\sqrt {3}，$$b=3，$$c=2\sqrt {3}，$$∠B=60°.$

解：$ (1)$如图，过点$B$作$BM\perp AD，$垂足为$M。$

由题意，得$AC\perp AD，$

∴$∠BMD=∠CAD=90°。$

∵$∠BDM=∠CDA，$

∴$\triangle BDM\sim \triangle CDA。$

∴$\frac {MB}{AC}=\frac {BD}{CD}。$

∵$CD=\frac {5}{2}BD，$$AC=6\ \mathrm {km}，$

∴$MB=\frac {BD}{CD}×AC=\frac {2}{5}×6=\frac {12}{5}\mathrm {km}。$

$ $在$Rt\triangle AMB$中，$\sin ∠BAD=\mathrm {sin}37°=\frac {MB}{AB}，$

∴$\frac {12}{5AB}≈\frac {3}{5}，$解得$AB=4\ \mathrm {km}。$

答：岛$A$与港口$B$之间的距离为$4\ \mathrm {km}。$

$ (2)$在$Rt\triangle ABM$中，$\cos ∠BAM=\mathrm {cos}37°=\frac {AM}{AB}，$

∴$AM=AB×\mathrm {cos}37°≈4×\frac {4}{5}=\frac {16}{5}\mathrm {km}。$

∵$\triangle BDM\sim \triangle CDA，$

∴$\frac {MD}{AD}=\frac {BD}{CD}=\frac {2}{5}，$

∴$MD=\frac {2}{5}AD。$

∵$AM=AD-MD，$

∴$\frac {16}{5}=AD-\frac {2}{5}AD，$解得$AD=\frac {16}{3}\mathrm {km}。$

$ $在$Rt\triangle DAC$中，$\tan C=\frac {AD}{AC}=\frac {\frac {16}{3}}{6}=\frac {8}{9}。$