第138页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专用

证明：$ (1)$如图$①，$作$\odot O$的直径$AM，$连接$BM，$

$ $则$∠ABM=90°，$$AM=2R。$

∵$AD$是$\triangle ABC$的高，

∴$∠ADC=90°。$

∵$∠ACB=∠AMB，$

∴$\triangle ABM\sim \triangle ADC。$

∴$\frac {AB}{AD}=\frac {AM}{AC}，$即$\frac {AB}{AD}=\frac {2R}{AC}。$

∴$R=\frac {AC·AB}{2AD}。$

$ (2)$如图$②，$连接$OE。$

∵$EF $为$\odot O$的切线，

∴$∠OEF=90°。$

∵$∠ACB=60°，$$∠ADC=90°，$

∴$∠DAC=30°。$

∵$∠EOC=60°，$

∴$\triangle OEC$是等边三角形，$∠OEC=60°，$

∴$∠CEF=30°=∠F，$

∴$CF=CE=R。$

$ $在$Rt\triangle ADC$中，$AD=3\sqrt {3}，$$\mathrm {tan}60°=\frac {AD}{CD}，$

∴$CD=3，$$BD=7-3=4。$

$ AC=\sqrt {(3\sqrt {3})^2+3^2}=6，$$AB=\sqrt {(3\sqrt {3})^2+4^2}=\sqrt {43}。$

$ $由$(1)$知$R=\frac {AC·AB}{2AD}=\frac {6\sqrt {43}}{6\sqrt {3}}=\frac {\sqrt {129}}{3}，$

∴$CF=\frac {\sqrt {129}}{3}。$

解$：(1) $如图，过点$A$作$AE\perp CD$于点$E，$过点$B$作$BF\perp CD$于

点$F，$则$∠AED=∠BFC=∠BFD = 90°。$

∵在$Rt\triangle AED$中，$∠DAE = 30°，$$AD = 20\ \mathrm {km}，$

∴$AE = AD·\mathrm {cos}30°=10\sqrt {3}\mathrm {km}，$$DE = AD·\mathrm {sin}30°=10\ \mathrm {km}。$

∵甲无人机位于$A$的正东方向$10\ \mathrm {km }$的$B$处，$D$位于$C$的正西方向，

∴$AB// CD。$

∴$AE\perp AB，$$BF\perp AB。$

∴四边形$AEFB$是矩形。

∴$EF = AB = 10\ \mathrm {km}，$$BF = AE = 10\sqrt {3}\mathrm {km}。$

∴$DF = DE + EF = 20\ \mathrm {km}。$

∴$BD=\sqrt {DF^2+BF^2} = 10\sqrt {7}≈26.5(\mathrm {km})。$

答：$BD$的长度约为$󈑦.5\ \mathrm {km}。$

$(2) $如图，假设当甲无人机运动到点$M，$乙无人机运动到点$N$

时，此时满足$MN = 20\ \mathrm {km}，$过点$M$作$MT\perp CD$于点$T。$

由题意，得$∠BCF = 90°-30°=60°。$

∴在$Rt\triangle BFC$中，$BC=\frac {BF}{\mathrm {sin}60°} = 20\ \mathrm {km}，$$CF=\frac {BF}{\mathrm {tan}60°} = 10\ \mathrm {km}。$

∴$CD = DF + CF = 30\ \mathrm {km}。$

设$BM = x\mathrm {km}，$则$DN = 2x\mathrm {km}，$$CM=(20 - x)\mathrm {km}。$

∴在$Rt\triangle CMT$中，$CT = CM·\mathrm {cos}60°=(10-\frac {1}{2}x)\mathrm {km}，$

$MT = CM·\mathrm {sin}60°=(10\sqrt {3}-\frac {\sqrt {3}}{2}x)\mathrm {km}。$

∴$TN = CD - DN - CT = 30 - 2x-(10-\frac {1}{2}x)=(20-\frac {3}{2}x)\mathrm {km}。$

∵在$Rt\triangle MTN$中，由勾股定理，得$MN^2=MT^2+NT^2，$

∴$20^2=(10\sqrt {3}-\frac {\sqrt {3}}{2}x)^2+(20-\frac {3}{2}x)^2，$

解得$x_{1}=15 - 5\sqrt {5}，$$x_{2}=15 + 5\sqrt {5}($此时$BM>BC，$舍去）。

∴$BM = 15 - 5\sqrt {5}≈3.8(\mathrm {km})。$

答：当甲无人机飞离$B$处约$3.8\ \mathrm {km }$时，两无人机可以开始相互接收到信号。