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下
(0，0)
y轴
减小
0
大
0
$解：​(1)​把​P(-2，​​3)​代入​y=ax^2，​得​a=\frac {3}{4}​$
$∵​\frac 34＞0​$
$∴函数的开口方向向上$
$​(2)​把​(2，​​m)​代入​y=\frac 34x^2，​可得​m=\frac 34×2^2=3​$
$解：设​A(x_{1}，​​y)、​​B(x_{2}，​​y)​$
$由题意可得​\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=0}\\{x_{2}-x_{1}=1}\end{cases}，​解得​\begin{cases}{x_{1}=-\dfrac 12}\\{x_{2}=\dfrac 12}\end{cases}​$
$​y=-2×(\frac 12)^2=-\frac 12​$
$∴​A(-\frac 12，​​-\frac 12)、​​B(\frac 12，​​-\frac 12)​$
上
$​\frac 32​$
【解析】
(1) 将点$P(-2, 3)$代入$y = ax^2$，可得$3=a×(-2)^2$，解得$a=\frac{3}{4}$。
因为$\frac{3}{4}＞0$，根据二次函数的性质，当二次项系数大于0时，函数图像开口向上。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=\frac{3}{4}x^2$，将点$Q(2, m)$代入解析式，可得$m=\frac{3}{4}×2^2=3$。
【答案】
(1) 开口方向向上；(2) $m=3$
【知识点】
二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，通过待定系数法求出函数解析式，再结合二次函数性质及函数图像上点的坐标特征求解，侧重对基础知识的考查，难度较低。
【解析】
设点$A(x_{1}, y)$、$B(x_{2}, y)$，
因为点$A$、$B$关于$y$轴对称，且$AB=1$，所以可得方程组$\begin{cases}{x_{1}+x_{2}=0}\\{x_{2}-x_{1}=1}\end{cases}$，
解这个方程组，得$\begin{cases}{x_{1}=-\dfrac{1}{2}}\\{x_{2}=\dfrac{1}{2}}\end{cases}$，
将$x=\frac{1}{2}$代入二次函数$y=-2x^{2}$，得$y=-2×(\frac{1}{2})^2=-\frac{1}{2}$，
因此点$A$、$B$的坐标分别为$A(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$、$B(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$。
【答案】
$A(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2})$，$B(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2})$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；二次函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题通过利用关于y轴对称的点的坐标特征，结合线段AB的长度求出点的横坐标，再代入二次函数解析式求出纵坐标，考查了对称点性质与二次函数的综合应用，体现了数形结合的思想。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$的图像，可由$y=ax^2$的图像通过上下平移得到，遵循“上加下减”的规律：
(1) 函数$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{3}{2}$中$k=\dfrac{3}{2}＞0$，故由$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}$的图像向上平移$\dfrac{3}{2}$个单位长度得到，其顶点坐标为$(0,\dfrac{3}{2})$，对称轴是y轴；
(2) 函数$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}-3$中$k=-3＜0$，故由$y=-\dfrac{1}{2}x^{2}$的图像向下平移3个单位长度得到，顶点坐标为$(0,-3)$，对称轴是y轴。
因为$a=-\dfrac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，所以当$x＜0$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$增大而减小；当$x=0$时，$y$的值最大，最大值是$-3$。
【答案】
(1) 上；$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$；$\boldsymbol{(0,\dfrac{3}{2})}$；$\boldsymbol{y轴}$
(2) 下；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{(0,-3)}$；$\boldsymbol{y轴}$；$\boldsymbol{＜0}$；$\boldsymbol{＞0}$；$\boldsymbol{=0}$；$\boldsymbol{大}$；$\boldsymbol{大}$；$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
二次函数图像平移；二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数图像的平移规律及二次函数的基本性质，熟练掌握“上加下减”的平移规律和二次函数的顶点、对称轴、增减性、最值相关知识是解题的关键。
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