第49页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：若△ADE∽△ACB，则\frac {AE}{AD}=\frac {AB}{AC}$

$∴AE=\frac {24×12}{18}=16$

$若△ADE∽△ABC，则\frac {AE}{AD}=\frac {AC}{AB}$

$∴AE=\frac {12×18}{24}=9$

$综上所述，AE的长为16或9$

$解：(1)△PAC∽△PDB$

$∵∠A=∠D，∠C=∠B$

$∴△PAC∽△PDB$

$(2)∵△PAC∽△PDB$

$∴\frac {PA}{PC}=\frac {PD}{PB}$

$∴PC · PD=PA · PB=3×4=12$

$又∵PC+PD=CD=8，PC＞PD$

$∴PC=6，PD=2$

$解：由平行四边形ABCD可得DC//AB$

$∴\frac {CF}{FE}=\frac {DF}{FB}=\frac {DC}{BE}=2$

$∴\frac {S_{△FBC}}{S_{△EBC}}=\frac 23$

$设底边AB上的高为h$

$则S_{△EBC}=\frac 12×\frac 12AB · h=\frac 14S_{平行四边形ABCD}=1$

$∴S_{△FBC}=\frac 23$

$同理S_{△FED}=\frac 23$

$∴S_{阴影}=\frac 23+\frac 23=\frac 43$

【解析】
本题需分两种情况讨论△ADE与△ABC相似的情况：
1. 若△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AC}$，将$AB=24$，$AC=18$，$AD=12$代入，得$AE=\frac{24×12}{18}=16$；
2. 若△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，将$AB=24$，$AC=18$，$AD=12$代入，得$AE=\frac{12×18}{24}=9$。
综上，AE的长为16或9。
【答案】
$AE$的长为9或16
【知识点】
相似三角形的性质、分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形的性质应用，因未明确相似三角形的对应顶点，需分情况讨论，避免漏解。

【解析】
（1）$△ PAC ∽ △ PDB$，理由如下：
在$\odot O$中，$∠ A$与$∠ D$是同弧$BC$所对的圆周角，$∠ C$与$∠ B$是同弧$AD$所对的圆周角，根据圆周角定理可得$∠ A = ∠ D$，$∠ C = ∠ B$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，因此$△ PAC ∽ △ PDB$。
（2）$\because △ PAC ∽ △ PDB$
$\therefore \frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}$
$\therefore PC · PD = PA · PB = 4 × 3 = 12$
又$\because PC + PD = CD = 8$，且$PC ＞ PD$
联立可得$\begin{cases}PC + PD = 8\\PC · PD = 12\end{cases}$，解得$PC=6$，$PD=2$。
【答案】
（1）$△ PAC$与$△ PDB$相似；
（2）$PC=6$，$PD=2$。
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定与性质，相交弦定理
【点评】
本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质的综合应用，通过圆周角定理找到相等角证明相似，再利用相似性质结合线段和的条件求解线段长度，体现了几何推理与方程思想的结合。

【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$DC// AB$，$DC=AB$。
∵$E$是$AB$的中点，
∴$DC=2BE$，
∴$\frac{CF}{FE}=\frac{DF}{FB}=\frac{DC}{BE}=2$。
∵$△ FBC$与$△ EBC$同高，
∴$\frac{S_{△ FBC}}{S_{△ EBC}}=\frac{CF}{CE}=\frac{2}{3}$。
设平行四边形$ABCD$底边$AB$上的高为$h$，
则$S_{△ EBC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB· h=\frac{1}{4}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=\frac{1}{4}×4=1$，
∴$S_{△ FBC}=\frac{2}{3}×1=\frac{2}{3}$。
同理可得$S_{△ FED}=\frac{2}{3}$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ FBC}+S_{△ FED}=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，平行线分线段成比例
【点评】
本题主要考查平行四边形性质与三角形面积的综合应用，关键是利用平行线得到线段比例关系，通过同高三角形面积比等于底之比，将阴影部分三角形面积与平行四边形面积建立联系，进而求解阴影部分总面积。