第50页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：(1)△ABP∽△PCE$

$∵∠APE=∠B=∠C=60°$

$∴∠APB=180°-∠APE-∠EPC$

$=180°-60°-(180°-∠C-∠PEC)=∠PEC$

$∴△ABP∽△PCE$

$(2)∵△ABP∽△PCE$

$∴\frac {AB}{BP}=\frac {PC}{CE}$

$∵AB=4，BC=7，BP=5$

$∴PC=7-5=2$

$∴CE=2.5$

$解：假设存在点P，使得AP⊥PD$

$则∠APB=180°-90°-∠DPC=90°-∠DPC=∠PDC$

$又∠B=∠C=90°$

$∴△ABP∽△PCD$

$∴\frac {AB}{BP}=\frac {PC}{CD}，即\frac 4{BP}=\frac {4-BP}1$

$得BP=2$

$∴存在点P使得AP⊥PD，BP=2$

$解：过点D作DG//BF，交AC于点G$

$则\frac {AE}{ED}=\frac {AF}{FG}，\frac {CG}{GF}=\frac {CD}{DB}=\frac m{n}$

$又∵点E是AD的中点$

$∴AF=FG，CG=\frac m{n}GF，CF=\frac {m+n}nGF$

$∴\frac {CF}{FA}=\frac {CF}{GF}=\frac {m+n}n$

【解析】
（1）$△ ABP ∽ △ PCE$，理由如下：
$\because ∠ APE = ∠ B = ∠ C = 60^{\circ}$，
$\therefore ∠ APB = 180^{\circ} - ∠ APE - ∠ EPC$
$= 180^{\circ} - 60^{\circ} - (180^{\circ} - ∠ C - ∠ PEC) = ∠ PEC$，
又$\because ∠ B = ∠ C$，
$\therefore △ ABP ∽ △ PCE$。
（2）$\because △ ABP ∽ △ PCE$，
$\therefore \frac{AB}{BP} = \frac{PC}{CE}$，
$\because AB=4$，$BC=7$，$BP=5$，
$\therefore PC = BC - BP = 7 - 5 = 2$，
将$AB=4$，$BP=5$，$PC=2$代入比例式得：
$\frac{4}{5} = \frac{2}{CE}$，
解得$CE = 2.5$。
【答案】
（1）$△ ABP$与$△ PCE$相似，理由见解析；
（2）$CE$的长为$\boldsymbol{2.5}$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定；
2. 相似三角形的性质。
【点评】
本题通过角的数量关系推导三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求解线段长度，考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是准确找到相等的角来证明三角形相似。

【解析】
假设存在点P，使得AP⊥PD。
因为AP⊥PD，所以∠APD=90°，则∠APB=90°-∠DPC。
又因为DC⊥BC，∠C=90°，所以∠PDC=90°-∠DPC，故∠APB=∠PDC。
已知AB⊥BC，DC⊥BC，所以∠B=∠C=90°。
因此△ABP∽△PCD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，得$\frac{AB}{BP}=\frac{PC}{CD}$。
将AB=4，DC=1，PC=4-BP代入，得$\frac{4}{BP}=\frac{4-BP}{1}$，
整理得$BP^2-4BP+4=0$，解得BP=2。
所以存在点P使得AP⊥PD，线段BP的长为2。
【答案】
存在点P使得AP⊥PD，BP的长为2。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；垂直的性质
【点评】
本题通过假设法结合相似三角形的判定与性质求解，体现了方程思想的应用，解题关键是通过角度关系推导三角形相似，进而建立方程求解。

【解析】
过点$D$作$DG// BF$，交$AC$于点$G$。
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FG}$，$\frac{CG}{GF}=\frac{CD}{DB}=\frac{m}{n}$。
∵点$E$是$AD$的中点，
∴$AE=ED$，则$AF=FG$。
由$\frac{CG}{GF}=\frac{m}{n}$，得$CG=\frac{m}{n}GF$，
∴$CF=CG+GF=\frac{m}{n}GF+GF=\frac{m+n}{n}GF$。
又
∵$FA=FG$，
∴$\frac{CF}{FA}=\frac{\frac{m+n}{n}GF}{GF}=\frac{m+n}{n}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{m+n}{n}}$
【知识点】
平行线分线段成比例，线段中点的性质
【点评】
本题通过作平行线构造平行线分线段成比例的基本模型，结合线段中点的性质转化线段比例关系，合理添加辅助线是解题的关键。