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18
20，45
3
2
③④⑤
C
B
【解析】
因为D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据三角形中位线定理，可得DE=$\frac{1}{2}$AC，DF=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$AB。
已知△DEF的周长为9，即DE+DF+EF=9，那么△ABC的周长为AB+BC+AC=2(DE+DF+EF)=2×9=18。
【答案】
18
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的应用，通过中位线与对应第三边的数量关系，建立两个三角形周长的联系，进而求解。
【解析】
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知相似比为$\dfrac{2}{3}$，所以它们的面积比为$(\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$。
设这两个相似三角形的面积分别为$4x$和$9x$，根据题意列方程：
$4x + 9x = 65$
合并同类项得：$13x = 65$
解得：$x = 5$
则$4x = 4×5 = 20$，$9x = 9×5 = 45$。
【答案】
20，45
【知识点】
相似三角形的面积性质
【点评】
本题考查相似三角形的核心性质，利用面积比与相似比的平方关系设未知数，通过方程求解，是相似三角形面积问题的典型解法，需牢记面积比与相似比的关系。
【解析】
设$BD = x$，则$DC = BC - BD = 5 - x$。
根据题意$\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC}$，代入$AB = 6$，$AC = 4$，得：
$\dfrac{6}{4} = \dfrac{x}{5 - x}$
交叉相乘得：$6(5 - x) = 4x$
展开得：$30 - 6x = 4x$
移项合并同类项得：$10x = 30$
解得：$x = 3$
则$DC = 5 - 3 = 2$。
【答案】
$3$；$2$
【知识点】
比例的性质；线段和差
【点评】
本题通过设未知数，利用线段的和差表示相关线段长度，结合比例的性质建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，关键是根据已知比例关系构建等式。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理求出各三角形的三边长度，再根据“三边对应成比例的两个三角形相似”进行判定：
$△ABC$（①）的三边之比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:\sqrt{10}$；
②$△BCD$的三边之比为$\sqrt{2}:1:\sqrt{5}$，与①不成比例，不相似；
③$△BDE$的三边之比与$△ABC$的三边之比相同，二者相似；
④$△BFG$的三边之比与$△ABC$的三边之比相同，二者相似；
⑤$△FGH$的三边之比与$△ABC$的三边之比相同，二者相似；
⑥$△EFK$的三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与①不成比例，不相似。
因此，与三角形①相似的三角形是③④⑤。
【答案】
③④⑤
【知识点】
相似三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题考查相似三角形的判定与勾股定理的应用，解题关键是通过勾股定理计算各三角形的三边长度，再利用三边对应成比例的判定定理判断相似性，需注意准确计算边长并化简比例。
【解析】
已知$a:b = 4:3$，且$b^2 = ac$，根据比例的基本性质，将$b^2 = ac$变形为$\frac{b}{c} = \frac{a}{b}$，即$b:c = a:b$。
由于$a:b = 4:3$，因此$b:c = 4:3$。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题考查比例的基本性质的应用，通过对已知等式进行比例变形，可快速推导得出$b:c$与$a:b$的关系，进而得到答案，解题时要灵活运用比例性质简化计算。
【解析】
选项A：锐角三角形的三个内角均为锐角，钝角三角形有一个内角为钝角，二者对应角不可能全部相等，因此一定不相似，是真命题；
选项B：直角三角形仅有直角相等，另外两个锐角的度数不一定对应相等，例如一个直角三角形的锐角为30°和60°，另一个直角三角形的锐角为45°和45°，这两个直角三角形不相似，是假命题；
选项C：两条直角边成比例，且夹角为直角（相等），根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知这两个直角三角形相似，是真命题；
选项D：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，若两个三角形的三条中位线成比例，则它们的三边也对应成比例，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可知这两个三角形相似，是真命题。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；三角形中位线性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定定理及三角形中位线的性质，需熟练掌握相似三角形的判定方法，注意直角三角形相似的前提条件。
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