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解：​$(1)$​两个抛掷两枚骰子时，出现骰子朝上一面的点数均为等可能事件。
结果如下表所示。

以上共有​$36$​种等可能的结果。其中出现积为奇数的有​$9$​种结果。
则小明得分的情况为​$3×\frac {9}{36}=\frac {3}{4}($​分​$)，$​小丽得分的情况为​$1×\frac {27}{36}=\frac {3}{4}($​分​$)$​
∴这个游戏对双方公平
​$(2)$​两个抛掷两枚骰子时，出现骰子朝上一面的点数均为等可能事件。
结果如下表所示

以上共有​$36$​种等可能的结果，其中出现点数和大于​$7$​的有​$15$​种结果。
则小明得分为​$1×\frac {15}{36}=\frac {5}{12}($​分​$)，$​小丽得分为​$1×\frac {21}{36}=\frac {7}{12}($​分​$)$​
​$\frac {7}{12}＞\frac {5}{12}$​
这个游戏对双方不公平
建议：当​$2$​枚骰子朝上的一面点数的和大于​$7$​时，小明得​$1$​分，
点数和小于​$7$​时，小丽得​$1$​分，点数和刚好为​$7$​时，双方都得​$1$​分。
$解：​ 4​个人抽取​4​支签一共有​24​种等可能结果，第一个人得到奖品的$
$有​12​种，第二个人得到奖品的有​12​种，第三个人得到奖品的有​12​$
$种，第四个人得到奖品的有​12​种$
$∴每个人得到奖品的可能性都是相同的，概率都为​P=\frac {12}{24}=\frac 12​$
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【解析】
(1) 抛掷两枚质地均匀的骰子，共有36种等可能的结果。当两枚骰子点数的积为奇数时，需两枚骰子点数均为奇数（1、3、5），共有$3×3=9$种结果。
小明每次得分的期望为：$3×\frac{9}{36}=\frac{3}{4}$分，小丽每次得分的期望为：$1×\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$分，二者得分期望相等，故游戏对双方公平。
(2) 两枚骰子点数和大于7的结果有15种，小明得分期望为：$1×\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$分，小丽得分期望为：$1×\frac{21}{36}=\frac{7}{12}$分，$\frac{5}{12}≠\frac{7}{12}$，故游戏不公平。
改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数和大于7时小明得1分，点数和小于7时小丽得1分，点数和等于7时双方各得1分（合理即可）。
【答案】
(1) 这个游戏规则对双方公平，理由见解析；
(2) 这个游戏规则对双方不公平，改进意见：当两枚骰子朝上一面的点数和大于7时小明得1分，点数和小于7时小丽得1分，点数和等于7时双方各得1分（合理即可）。
【知识点】
1. 游戏公平性判断
2. 概率的计算
3. 列表法求概率
【点评】
本题考查概率在游戏公平性中的应用，核心是通过列表法确定所有等可能结果，计算事件概率及得分期望来判断公平性，改进规则需保证双方得分期望相等，培养了分析与解决实际问题的能力。
【解析】
4个人抽取4支签，所有等可能的结果总数为$4!=24$种。
第一个人得到奖品的结果数：从2支奖品签中选1支，剩余3支签全排列，共$2×3!=12$种；
第二个人得到奖品的结果数：先确定第二个人的奖品签（2种选择），剩余3个位置由剩下3支签全排列，共$2×3!=12$种；
同理，第三个人、第四个人得到奖品的结果数也均为12种。
因此每个人得到奖品的概率为$P=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$，即每个人得到奖品的可能性相同。
【答案】
先抽的人得到奖品的可能性不一定大。因为每个人得到奖品的概率都是$\frac{1}{2}$，可能性相同。
【知识点】
古典概型、等可能事件概率计算
【点评】
在不放回的抽签场景中，抽签顺序不影响中奖概率，每个人获得奖品的概率均等，体现了概率的公平性。
【解析】
设袋中有白球$ x $个。
当试验次数足够多时，摸到红球的频率可近似等于摸到红球的概率，根据题意得摸到红球的概率为0.4。
由概率公式可得：$\frac{10}{10+x}=0.4$
解方程：
$10 = 0.4(10+x)$
$10 = 4 + 0.4x$
$0.4x = 6$
$x = 15$
经检验，$x=15$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
15
【知识点】
用频率估计概率；概率公式的应用
【点评】
本题考查用频率估计概率的思想，利用概率公式建立方程求解是解题关键，注意试验次数较多时，频率可近似替代概率。
【解析】
（1）根据频率的计算公式，频率=观看直播的家庭数÷抽查的家庭总数，代入数据可得$\frac{10}{200}=0.05$；
（2）当抽查的样本数量较大时，频率可近似作为概率的估计值，因此估计该家庭观看直播的概率为0.05；
（3）用该市家庭总数乘以估计的观看概率，即可估算出观看直播的家庭数量，计算得$1.3×10^{6}×0.05=65000$（个）。
【答案】
（1）0.05；
（2）0.05；
（3）65000个
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计知识在实际问题中的应用，通过样本频率计算、频率估计概率，再到用样本估计总体的数量，清晰体现了统计思想的实际运用，帮助理解频率与概率的关系及统计估算方法。
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