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解：​$(2)$​甲长方形周长：​$2(m+1+m+7)=2(2m+8)=4(m+4)$​
∴正方形的边长为​$(m+4)$​
​$S=(m+4)^2$​
​$S-S_{1}=(m+4)^2-(m+1)(m+7)$​
​            $=\mathrm {m^2}+8m+16-\mathrm {m^2}-8m-7$​
​            $=9$​
∴​$S-S_{1}$​是一个常数，常数为​$9$​
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