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解：​$(1)$​∵​$ $​四边形​$ABCD$​是菱形
∴​$AB=BC=CD=DA，$​​$AC⊥BD$​
​$DA=OC，$​​$OB=OD，$​​$∠DAO=∠BAO$​
在​$△AOD$​中，​$∠AOD=90°$​
∵​$E$​是​$AD$​的中点
∴​$OE$​是​$Rt△AOD$​斜边上的中线
∴​$AE=DE=OE$​
∴​$∠DAO =∠EOA$​
∴​$∠BAO=∠EOA$​
∴​$OE//AB$​
又∵​$OG//EF$​
∴四边形​$OEFG $​是平行四边形
∵​$∠EFG=90°$​
∴四边形​$OEFG $​是矩形
​$(2)$​易知​$OE=AD=5，$​​$AF=3，$​​$BG=10-3-5=2$​
证明：​$(1)$​∵​$△ABE$​是等边三角形
∴​$BA=BE，$​​$∠ABE=60°$​
∵​$∠MBN=60°$​
∴​$∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，$​即​$∠BMA=∠NBE$​
又∵​$MB=NB$​
∴​$△AMB≌△ENB(\mathrm {SAS})$​
​$(2)$​解：​$①$​当点​$M$​落在​$BD$​的中点时，​$AM+CM$​的值最小
②如图，连接​$CE，$​当点​$M$​位于​$BD$​与​$CE$​的交点处时，
​$AM+BM+CM$​的值最小
证明：连接​$MN$​
由​$(1)$​知，​$△AMB≌△ENB$​
∴​$AM=EN$​
∵​$∠MBN=60°，$​​$MB=NB$​
∴​$△BMN$​是等边三角形
∴​$BM=MN$​
∴​$AM+BM+CM=EN+MN+CM$​
根据“两点之间线段最短”，得​$EN+MN+CM=EC$​最短
∴当点​$M$​位于​$BD$​与​$CE$​的交点处时，​$AM+BM+CM$​的值最小，
即等于​$EC$​的长
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