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证明：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​为平行四边形，
∴​$AB// CD，$​∴​$∠ B+∠ ECD = 180°。$​
∵​$∠ AFE=∠ B，$​∴​$∠ AFE+∠ ECD = 180°。$​
又∵​$∠ AFE+∠ AFD = 180°，$​∴​$∠ AFD=∠ ECD。$​
​$(2)$​由​$(1)$​得，​$∠ AFD=∠ DCE。$​
∵四边形​$ABCD$​为平行四边形，
∴​$AD// BC，$​∴​$∠ ADF=∠ DEC。$​
又∵​$AD = DE，$​∴​$△ AFD≌△ DCE。$​
解：​$▱ AEPH$​和​$▱ PFCG $​的面积相等，
​$▱ABGH$​与​$▱ EBCF $​的面积相等，​
$▱ AEFD$​与​$▱HGCD$​的面积相等；理由如下：
∵​$EF// BC，$​​$GH// AB，$​
∴四边形​$HPFD、$​​$BEPG $​为平行四边形，
∴​$PE = BG，$​​$BE = PG，$​
在​$△ PEB$​和​$△ BGP_{中}，$​​
$PE = BG，$​​$BE = PG，$​​$BP = PB，$
​∴​$△ PEB≌ △ BGP(\mathrm {SSS})，$​
∴​$S_{△ PEB}=S_{△ BGP}，$​
同理可得​$S_{△ PHD}=S_{△ DFP}，$​​$S_{△ ABD}=S_{△ CDH}，$
​∴​$S_{△ ABD}-S_{△ PEB}-S_{△ PHD}=S_{△ CDH}-S_{△ BGP}-S_{△ DFP}，$​
即​$S_{四边形AEPH}=S_{四边形PFCG}，$​
∴​$S_{四边形ABGH}=S_{四边形EBCF}，$​​
$S_{四边形AEFD}=S_{四边形HGCD} $​
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