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第42页

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解：$AC = DE。$

理由如下：∵四边形$ ABCD $是平行四边形，

∴$AB = CD，$$∠ B=∠ ADC，$$AD// BC，$

∴$∠ DAE=∠ AEB。$

∵$∠ B=∠ AEB，$

∴$AE = AB，$$∠ B=∠ AEB=∠ DAE=∠ ADC，$

∴$AE = CD，$且$∠ DAE=∠ ADC$

在$△ ADC$和$△ DAE$中

$\begin {cases}{AE = CD}\\{∠ DAE=∠ ADC}\\AD = AD\end {cases}$

∴$△ ADC≌△ DAE(\mathrm {SAS})$

∴$AC = DE。$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形，

∴$AD//BC，$$∠ABC=∠ADC，$$∠DAC=∠BCA.$

∵$BE、$$DG $分别平分$∠ABC、$$∠ADC，$

∴$∠ADG=∠CBE.$

∵$∠DGE=∠DAC+∠ADG，$$∠BEG=∠BCA+∠CBG，$

∴$∠DGE=∠BEG，$

∴$BE//DG$

$(2)$过点$E$作$EH⊥BC$于点$H.$

∵$BE$平分$∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，$

∴$EH = EF = 6.$

∵$▱ABCD$的周长为$56，$

∴$AB + BC = 28，$

∴$S_{△ ABC}=\frac {1}{2}AB· EF+\frac {1}{2}BC· EH=\frac {1}{2}EF(AB + BC)$

$=\frac {1}{2}×6×28 = 84.$

证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB=CD，$$BC=AD，$$∠ABC=∠ADC .$

∵$△ABE$是等边三角形

∴$AB=BE，$$∠ABE=60°$

∴$BE=CD$

∵$△ADF $是等边三角形

∴$AD=DF，$$∠ADF=60°$

∴$BC=DF，$$∠ABE=∠ADF$

∵$∠ABC=∠ADC$

∴$∠ABC+∠ABE=∠ADF+∠ADC .$

即$∠CBE=∠FDC$

在$△CBE$和$△FDC$中

$\begin {cases}{BC=DF }\\{∠CBE=∠FDC} \\{BE=DC} \end {cases}$

∴$△CBE≌△FDC(\mathrm {SAS})$

∴$CE=CF$

$(2)$∵$△CBE≌△FDC$

∴$∠BEC=∠DCF$

在$△BCE$中，$∠BEC+∠BCE+∠ABE+∠ABC= 180°$

∴$∠BEC+∠ BCE+∠ABC= 180°-60°= 120°$

即$∠DCF+∠BCE+∠ABC= 120°$

∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB//CD$

∴$∠ABC+∠BCD= 180°$

即$∠ABC+∠DCF+∠BCE+∠ECF=180°$

∴$∠ECF= 180°-120°=60°$