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解：∵四边形​$ ABCD $​是平行四边形
∴​$OB = OD，$​​$AB = CD，$​​$AD = BC.$​
∵​$▱ABCD $​的周长为​$ 18，$​
∴​$AB + AD = 9.$​
∵​$OE⊥BD，$​
∴​$OE $​是线段​$ BD $​的中垂线，
∴​$BE = ED，$​
∴​$△ABE $​的周长​$ = AB + BE + AE = AB + AD = 9.$​
证明：∵​$ $​四边形​$ ABCD $​是平行四边形，
∴​$ OA = OC，$​​$AD// BC，$​
∴​$ ∠ OAE=∠ OCF，$​
在​$ △ OAE $​和​$ △ OCF $​中，
​$\begin {cases}∠ OAE=∠ OCF \\OA = OC \\∠ AOE=∠ COF\end {cases}$​
∴​$ △ AOE≌△ COF(\mathrm {ASA})，$​
∴​$ OE = OF。$​
C
B
4
(1，-1)
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