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解：（1）$\begin{aligned}(ab)^3 \cdot 3a^2 \cdot (4a^2b^3)^2&=a^3b^3 \cdot 3a^2 \cdot (16a^4b^6)\\&=3 \times 16 \cdot a^{3+2+4} \cdot b^{3+6}\\&=48a^9b^9\end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}2(x^3)^2 \cdot x^3 - (3x^3)^3 + (5x)^2 \cdot x^7&=2x^6 \cdot x^3 - 27x^9 + 25x^2 \cdot x^7\\&=2x^9 - 27x^9 + 25x^9\\&=0\end{aligned}$
解：​$2×10^3×4×10^2×8×10=64×10^6=(4×10^2)(\mathrm {dm}³)$​
答：棱长是​$4×10^2\ \mathrm {dm}$​
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$（$m,n$是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘
$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$是正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
$(ab)^n = a^n b^n$（$n$是正整数）
同底数幂相除，底数不变，指数相减
$a^m \div a^n = a^{m-n}$（$a\neq0，$
$m,n$是正整数，$m＞n$）
解：推导同底数幂的乘法法则：$a^m \cdot a^n$（$m,n$是整数），表示$m$个$a$相乘与$n$个$a$相乘的积，即$(a \cdot a \cdot \dots \cdot a)$（$m$个$a$）$\cdot (a \cdot a \cdot \dots \cdot a)$（$n$个$a$），合并后共有$m+n$个$a$相乘，所以$a^m \cdot a^n = a^{m+n}。$
【分析】
这两道题均为整式的混合运算，解题思路是先依据幂的相关运算法则（积的乘方、幂的乘方）去掉括号，将各项转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则进行乘法运算，第(2)题最后还需合并同类项得到结果。运算过程中要遵循“先乘方，再乘法，最后加减”的顺序，注意系数和指数的正确计算。
【解析】
(1)
$\begin{align}&(ab)^{3} · 3a^{2} · (4a^{2}b^{3})^{2} \\=& a^{3}b^{3} · 3a^{2} · 16a^{4}b^{6} \\=& 48a^{3 + 2+4}b^{3 + 6} \\=& 48a^{9}b^{9}\end{align}$
(2)
$\begin{align}&2(x^{3})^{2} · x^{3}-(3x^{3})^{3}+(5x)^{2} · x^{7} \\=& 2x^{6} · x^{3}-27x^{9}+25x^{2} · x^{7} \\=& 2x^{9}-27x^{9}+25x^{9} \\=& (2 - 27+25)x^{9} \\=& 0\end{align}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{48a^{9}b^{9}}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
幂的运算法则、整式混合运算
【点评】
本题主要考查整式的混合运算，解题时需严格遵循运算顺序，准确运用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则，注意系数运算和同类项合并，避免指数运算错误或系数计算失误。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，关键是抓住“废水体积不变”这一等量关系，即正方体贮水池的容积等于长方体废水池的容积。首先根据长方体容积公式（长×宽×高）计算出废水的体积，也就是长方体的容积；再根据正方体容积公式（棱长的立方），对得到的容积开立方，即可求出正方体的棱长。计算过程中可利用乘法交换律、结合律以及同底数幂的乘法法则简化运算，最后将结果转化为可直接开立方的形式，逆用立方的运算得到棱长。
【解析】
1. 计算长方体废水池的容积：
$\begin{aligned}&(2×10^{3})×(4×10^{2})×(8×10)\\=&2×4×8×10^{3}×10^{2}×10\\=&64×10^{6}\\=&6.4×10^{7}(dm^{3})\end{aligned}$
2. 设正方体贮水池的棱长为$a$，因为废水正好灌满正方体贮水池，所以正方体容积等于长方体容积，即：
$a^{3}=6.4×10^{7}$
将$6.4×10^{7}$转化为$64×10^{6}$，则：
$a^{3}=64×10^{6}$
对等式两边开立方：
$a=\sqrt[3]{64×10^{6}}=\sqrt[3]{64}×\sqrt[3]{10^{6}}=4×10^{2}=400(dm)$
【答案】
该正方体贮水池的棱长为$400dm$。
【知识点】
长方体与正方体容积计算、同底数幂乘法运算、立方根的应用
【点评】
本题核心考查了长方体和正方体容积公式的实际应用，同时结合了幂的运算性质与立方根的逆用。解题的关键是建立“长方体容积=正方体容积”的等量关系，在计算过程中要熟练运用幂的运算法则简化运算，将容积转化为可直接开立方的形式是快速求解棱长的技巧。
【难度系数】
0.6
1. 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，例如 $a^m × a^n = a^{m+n}$。
2. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，例如 $(a^m)^n = a^{m × n}$。
3. 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，例如 $(ab)^n = a^n × b^n$。
4. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，例如 $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$。
【分析】
首先从四个幂的运算性质中选择基础的同底数幂的乘法进行推导。解题思路为：先明确乘方的定义，即$a^m$表示$m$个$a$相乘，接着设定好参数的取值范围，再根据乘方定义将同底数幂展开，利用乘法结合律合并相同因数的个数，最后再转化为乘方形式，从而推导出同底数幂的乘法法则。
【解析】
选择同底数幂的乘法进行推导：
1. 设定参数：设 $ m $、$ n $ 为正整数，$ a $ 为任意不为0的数。
2. 根据乘方的定义展开：
$ a^m × a^n = (\underbrace{a × a × ··· × a}_{m个a}) × (\underbrace{a × a × ··· × a}_{n个a}) $
3. 利用乘法结合律合并相同因数的个数：
$ = \underbrace{a × a × ··· × a}_{(m + n)个a} $
4. 再根据乘方的定义转化：
$ = a^{m + n} $
结论：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $ a^m · a^n = a^{m + n} $（$ m $、$ n $ 为正整数，$ a ≠ 0 $）。
【答案】
选择同底数幂的乘法，推导过程如下：
设 $ m $、$ n $ 为正整数，$ a $ 为任意不为 0 的数。
$ a^m × a^n = (\underbrace{a × a × ··· × a}_{m个a}) × (\underbrace{a × a × ··· × a}_{n个a}) = \underbrace{a × a × ··· × a}_{(m + n)个a} = a^{m + n} $
结论：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $ a^m · a^n = a^{m + n} $（$ m $、$ n $ 为正整数，$ a ≠ 0 $）。
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题考查对幂运算性质推导过程的理解，通过乘方定义推导同底数幂的乘法法则，能帮助学生深入理解幂运算的本质，而非单纯记忆公式，为后续学习其他幂运算性质奠定基础。
【难度系数】
0.6
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