第40页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

互相平分

D

OE=OF（答案不唯一）

90

2

(7,3)或(-3,3)或(3,-3)

【分析】
要解决这道题，我们可以从平行四边形的性质逆推，结合全等三角形的知识来思考：首先回忆平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分；反过来，假设四边形的对角线互相平分，我们可以通过对角线交点处的对顶角相等，利用SAS证明三角形全等，进而推出一组对边平行且相等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可验证该四边形为平行四边形，由此确定对角线需满足的条件。
【解析】
根据平行四边形的判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形。
我们可通过几何推导验证：设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若OA=OC，OB=OD，
因为∠AOB=∠COD（对顶角相等），所以△AOB≌△COD（SAS），
可得AB=CD，且∠OAB=∠OCD，进而推出AB//CD，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可证四边形ABCD是平行四边形。
因此该空应填“互相平分”。
【答案】
互相平分
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础记忆类题目，直接考查平行四边形的判定定理，需要熟练掌握平行四边形的各类判定定理，可通过性质与判定的互逆关系辅助记忆，明确不同判定条件的适用场景。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决本题，需先回忆平行四边形的各类判定方法，再逐一分析每个选项是否符合判定条件：
1. 首先明确平行四边形的定义和判定定理：定义为两组对边分别平行的四边形；判定定理包括两组对边分别相等、对角线互相平分、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2. 对每个选项逐一验证：
选项A符合平行四边形的定义，可判定；
选项B符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可判定；
选项C符合“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，可判定；
选项D中，一组对边平行、另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，无法判定。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此$AB// DC$，$AD// BC$可以判定四边形$ABCD$是平行四边形；
选项B：根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此$AB = DC$，$AD = BC$可以判定四边形$ABCD$是平行四边形；
选项C：根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此$AO = CO$，$BO = DO$可以判定四边形$ABCD$是平行四边形；
选项D：一组对边平行（$AD// BC$），另一组对边相等（$AB = DC$）的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此无法判定四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的定义；特殊四边形辨析
【点评】
本题考查平行四边形的判定，需要准确掌握平行四边形的定义及各判定定理，同时要注意区分易混淆的条件：“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，而“一组对边平行、另一组对边相等”不能判定，避免与正确判定条件混淆。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这个问题，我们需要结合平行四边形的性质、判定定理以及平移的性质逐步分析：
1. 首先，已知四边形$ABCD$是平行四边形，这是第一个平行四边形。
2. 利用平移的性质：平移前后对应线段平行且相等，$△ AOD$平移至$△ BEC$，可得$AO// BE$且$AO=BE$，$OD// EC$且$OD=EC$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$AOEB$和$ODCE$是平行四边形。
3. 结合平行四边形$ABCD$对角线互相平分的性质，$AO=OC$，再结合平移得到的$AO=BE$，可得$BE=OC$且$BE// OC$，再次利用平行四边形判定定理，可判定四边形$BECO$是平行四边形。
4. 综上可找出所有平行四边形。
【解析】
1. 四边形$ABCD$：题目明确给出其为平行四边形，这是第一个平行四边形。
2. 四边形$AOEB$：
因为$△ AOD$平移至$△ BEC$，根据平移的性质，对应线段平行且相等，所以$AO// BE$，$AO=BE$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$AOEB$是平行四边形。
3. 四边形$ODCE$：
同理，由平移性质可得$OD// EC$，$OD=EC$，根据平行四边形判定定理，可判定四边形$ODCE$是平行四边形。
4. 四边形$BECO$：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，对角线互相平分，所以$AO=OC$。
结合平移性质$AO=BE$，可得$BE=OC$；又因为$AO// BE$，$AO$与$OC$共线，所以$BE// OC$。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$BECO$是平行四边形。
综上，图中共有4个平行四边形。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；平移的性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定与性质、平移的性质，解题关键是灵活运用平移前后对应线段的关系，结合平行四边形的判定定理逐步分析，注意不要遗漏平行四边形。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先，根据平行四边形的性质，平行四边形$ABCD$的对角线互相平分，可得$OA=OC$，$OB=OD$。要使四边形$AECF$是平行四边形，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，只需让$OE=OF$即可。结合$OB=OD$，若添加$BE=DF$，则$OB-BE=OD-DF$，可推出$OE=OF$，进而满足$AECF$的对角线互相平分，判定其为平行四边形；也可添加其他能推出$AECF$符合平行四边形判定的条件。
【解析】
已知四边形$ABCD$是平行四边形，
根据平行四边形的性质，得$OA=OC$，$OB=OD$。
若添加条件$\boldsymbol{BE=DF}$，
则$OB-BE=OD-DF$，即$OE=OF$。
又因为$OA=OC$，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形$AECF$是平行四边形。
【答案】
$BE=DF$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形性质与判定的综合应用，需熟练掌握平行四边形的核心性质与判定定理，解题思路灵活，答案不唯一，需根据判定定理合理选择添加的条件。
【难度系数】
0.7

【分析】
首先，根据O是AC中点求出AO的长度；再结合AD、DO的长度，利用勾股定理逆定理判断△ADO为直角三角形，得到AD⊥BD；接着由DO=BO且O是AC中点，判定四边形ABCD是平行四边形，得出AD//BC；最后根据平行线的性质，推出BD⊥BC，从而得到∠DBC的度数。
【解析】
1. 因为O为AC的中点，AC=26，所以$AO=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×26=13$。
2. 在$△ ADO$中，$AD=12$，$DO=5$，$AO=13$，
计算得$AD^2+DO^2=12^2+5^2=144+25=169$，$AO^2=13^2=169$，
即$AD^2+DO^2=AO^2$，根据勾股定理逆定理，可得$∠ ADO=90°$，即$BD⊥ AD$。
3. 因为$DO=BO$，$AO=OC$，即四边形$ABCD$的对角线互相平分，所以四边形$ABCD$是平行四边形，因此$AD// BC$，$BC=AD=12$。
4. 由$AD// BC$且$BD⊥ AD$，根据平行线的性质，可得$BD⊥ BC$，即$∠ DBC=90°$。
【答案】
90
【知识点】
勾股定理逆定理，平行四边形判定，直角三角形判定
【点评】
本题考查勾股定理逆定理与平行四边形的综合应用，解题关键是通过边长关系判断直角三角形，再结合平行四边形的性质推导垂直关系，进而求出角度。
【难度系数】
0.6

【分析】
首先利用平行四边形对称中心的性质，明确点O到AB、BC的距离与平行四边形对应边上高的关系，结合已知三角形面积建立等量关系，逐步推导△OGH的面积：
1. 通过设AB的长度，结合EF与AB的关系，利用△EOF的面积求出相关线段与高的乘积；
2. 借助对称中心的性质得到平行四边形的面积；
3. 再设BC的长度，结合GH与BC的关系，求出△OGH的面积。
【解析】
设 $ AB = 2x $，则 $ EF = \frac{1}{2}AB = x $，设点 $ O $ 到 $ AB $ 的距离为 $ h_1 $。
由 $ S_{△ EOF} = 3 $，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2} · EF · h_1 = 3$
代入 $ EF = x $，解得：
$\frac{1}{2} · x · h_1 = 3 \implies xh_1 = 6$
因为 $ O $ 是 $ □ ABCD $ 的对称中心，所以 $ S_{△ OAB} = \frac{1}{4}S_{□ ABCD} $，且 $ S_{△ OAB} = \frac{1}{2} · AB · h_1 = \frac{1}{2} · 2x · h_1 = xh_1 = 6 $，因此 $ S_{□ ABCD} = 4 × 6 = 24 $。
设 $ BC = 3y $，则 $ GH = \frac{1}{3}BC = y $，设点 $ O $ 到 $ BC $ 的距离为 $ h_2 $。
同理，$ S_{△ OBC} = \frac{1}{4}S_{□ ABCD} = 6 $，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} · BC · h_2 = 6$
代入 $ BC = 3y $，解得：
$\frac{1}{2} · 3y · h_2 = 6 \implies yh_2 = 4$
则 $ S_{△ OGH} = \frac{1}{2} · GH · h_2 = \frac{1}{2} · y · h_2 = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形性质，三角形面积公式
【点评】
本题重点考查平行四边形对称中心的性质，以及三角形面积公式的灵活应用，解题关键是通过对称中心建立平行四边形面积与三角形面积的联系。
【难度系数】
0.6

【分析】
要解决这个问题，我们需根据平行四边形“对角线互相平分”的性质，分三种情况讨论：分别以OA、OB、AB为平行四边形的对角线，利用中点坐标公式，通过对角线中点重合的特点，列方程求解点P的坐标，避免漏解。
【解析】
已知$O(0,0)$，$A(5,0)$，$B(2,3)$，设点$P$的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
1. 当OA为平行四边形的对角线时：
OA的中点坐标为$(\frac{0+5}{2},\frac{0+0}{2})=(2.5,0)$，
根据平行四边形对角线互相平分，PB的中点与OA的中点重合，
则$\begin{cases}\frac{x+2}{2}=2.5\\frac{y+3}{2}=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=3\\y=-3\end{cases}$，即$P(3,-3)$。
2. 当OB为平行四边形的对角线时：
OB的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+3}{2})=(1,1.5)$，
根据平行四边形对角线互相平分，AP的中点与OB的中点重合，
则$\begin{cases}\frac{5+x}{2}=1\\frac{0+y}{2}=1.5\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-3\\y=3\end{cases}$，即$P(-3,3)$。
3. 当AB为平行四边形的对角线时：
AB的中点坐标为$(\frac{5+2}{2},\frac{0+3}{2})=(3.5,1.5)$，
根据平行四边形对角线互相平分，OP的中点与AB的中点重合，
则$\begin{cases}\frac{0+x}{2}=3.5\\frac{0+y}{2}=1.5\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$，即$P(7,3)$。
综上，点$P$的坐标为$(3, -3)$或$(-3, 3)$或$(7, 3)$。
【答案】
$(3, -3)$或$(-3, 3)$或$(7, 3)$
【知识点】
平行四边形性质，中点坐标公式，平面直角坐标系
【点评】
本题考查平行四边形性质与平面直角坐标系的综合应用，核心是利用“平行四边形对角线互相平分”的性质，结合中点坐标公式求解。解题时需注意分类讨论，避免遗漏不同的平行四边形构造情况。
【难度系数】
0.6