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证明：
∵CD∥BE，
∴∠D=∠AEF（两直线平行，内错角相等）。
∵F是DE中点，
∴DF=EF。在△CDF和△AEF中，∠D=∠AEF，DF=EF，∠CFD=∠AFE（对顶角相等），
∴△CDF≌△AEF（ASA）。
∴CD=AE。
∵E为AB中点，
∴AE=BE。
∴CD=BE。又
∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
（1）证明：
∵BE=FC，
∴BE+EC=FC+EC，即BC=FE。在△ABC和△DFE中，AB=DF，AC=DE，BC=FE，
∴△ABC≌△DFE（SSS）。（2）证明：由（1）得△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE。
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）。又
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
证明：
∵∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF。
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°。在△ABE和△CDF中，∠BAC=∠DCA，AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（ASA）。
∴AB=CD。又
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
解：​$ (1) $​∵​$∆ABC $​为等边三角形，
∴​$∠B = ∠ACD = 60°，$​​$AC = BC。$​
​$在△ACD和△CBF中$​
​${{\begin {cases} {{AC=BC}} \\{∠ACD=∠B} \\{CD=BF} \end {cases}}}$​
​$∴△ACD≌△CBF(\mathrm {SAS})$​
​$(2) $​点​$ D $​在线段​$ BC $​上任意位置​$($​但点​$ D，$​​$C $​不重合​$)，$​
四边形​$ CDEF $​是平行四边形。
∵​$∆ACD≌∆CBF，$​
∴​$∠BCF = ∠CAD，$​​$AD = CF。$​
∵​$∆ADE $​为等边三角形，
∴​$AD = DE，$​​$∠ADE = 60°。$​
∴​$DE = CF。$​
∵​$∠ACD = ∠ADE = 60°，$​
​$∠ADB = ∠ADE + ∠BDE，$​​$∠ADB = ∠ACD + ∠DAC，$​
∴​$60° + ∠DAC = 60° + ∠BDE。$​
∴​$∠DAC = ∠BDE。$​
∵​$∠BCF = ∠DAC，$​
∴​$∠BDE = ∠BCF，$​
∴​$DE//CF。$​
∵​$DE = CF，$​
∴四边形​$ CDEF $​是平行四边形
【分析】
要证明四边形$BCDE$是平行四边形，已知$CD// BE$，根据平行四边形的判定定理，只需再证明$CD=BE$即可。首先利用平行线的性质得到内错角相等，结合F是DE中点、对顶角相等，可证明$△ CDF$与$△ AEF$全等，从而得到$CD=AE$；再根据E是AB中点得出$AE=BE$，进而推出$CD=BE$，最后结合$CD// BE$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because CD// BE$，
$\therefore ∠ D=∠ AEF$。
$\because F$是$DE$的中点，
$\therefore DF=EF$。
在$△ CDF$和$△ AEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ AEF, \\DF=EF, \\∠ CFD=∠ AFE,\end{array} $
$\therefore △ CDF≌△ AEF$（ASA）。
$\therefore CD=AE$。
$\because E$是$AB$的中点，
$\therefore AE=BE$，
$\therefore CD=BE$。
又$\because CD// BE$，
$\therefore$四边形$BCDE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$BCDE$是平行四边形，证明如上。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（ASA）
2. 平行四边形的判定
【点评】
本题主要考查平行四边形的判定与全等三角形的判定及性质，解题关键是通过全等三角形的性质得到线段相等，结合已知的平行线条件完成平行四边形的证明，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.6
【分析】
(1) 要证明$△ ABC≌△ DFE$，已知$AC=DE$，$AB=DF$，还需一组对应边相等。根据$BE=FC$，利用等式性质在两边同时加$CE$可得到$BC=FE$，满足SSS全等判定条件，即可证明全等。
(2) 要证明四边形$ABDF$是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。由(1)的全等结论可得$∠ ABC=∠ DFE$，进而推出$AB// DF$，结合已知$AB=DF$，即可完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ $BE = FC$，
∴ $BE + CE = FC + CE$，即 $BC = FE$。
在$△ ABC$和$△ DFE$中，
$\{\begin{array}{l}AB = DF, \\AC = DE, \\BC = FE\end{array} $
∴ $△ ABC≌△ DFE$（SSS）。
(2) 证明：
由(1)知$△ ABC≌△ DFE$，
∴ $∠ ABC = ∠ DFE$，
∴ $AB // DF$（同位角相等，两直线平行）。
又
∵ $AB = DF$，
∴ 四边形$ABDF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 证明见上述解析。
【知识点】
三角形全等的判定（SSS）；平行四边形的判定
【点评】
本题主要考查三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握相关定理是解题关键，通过等式性质转化线段长度是第一问的突破口，利用全等得到角相等进而证明平行是第二问的核心思路。
【难度系数】
0.6
【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，可考虑用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先由$∠BAC=∠DCA$可推出$AB// CD$，接下来只需证明$AB=CD$即可。已知$AF=CE$，通过等式变形得到$AE=CF$，结合垂直条件得到的直角，利用ASA证明$△ABE≌△CDF$，从而得到$AB=CD$，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $ AF = CE $，
∴ $ AF - EF = CE - EF $，
∴ $ AE = CF $。
∵ $ ∠BAC = ∠DCA $，
∴ $ AB // CD $（内错角相等，两直线平行）。
∵ $ BE⊥AC $，$ DF⊥AC $，
∴ $ ∠AEB = ∠CFD = 90° $。
在$ △ABE $和$ △CDF $中，
$\begin{cases}∠BAE = ∠DCF, \\AE = CF, \\∠AEB = ∠CFD,\end{cases}$
∴ $ △ABE ≌ △CDF $（ASA）。
∴ $ AB = CD $，
又
∵ $ AB // CD $，
∴ 四边形$ ABCD $是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
四边形$ ABCD $是平行四边形，证明如上。
【知识点】
ASA证全等，平行线判定，平行四边形判定
【点评】
本题考查平行四边形判定与全等三角形的综合运用，关键是通过线段等量转化得到全等条件，利用全等性质得到对边相等，结合平行关系完成证明，需熟练掌握相关判定定理。
【难度系数】
0.6
【分析】
(1) 要证明$△ACD≌△CBF$，已知$△ABC$是等边三角形，可得出$AC=BC$，$∠ACD=∠B=60°$，结合题目给出的$CD=BF$，满足全等三角形判定定理中的SAS条件，据此可证全等。
(2) 要使四边形$CDEF$是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，需证明一组对边平行且相等。由(1)的全等可得$AD=CF$，$∠BCF=∠CAD$；又$△ADE$是等边三角形，故$AD=DE$，$∠ADE=60°$，从而$DE=CF$。接下来通过角的等量代换，证明$∠BDE=∠BCF$，得到$DE// CF$，进而得出四边形$CDEF$是平行四边形，推导后可知点$D$在线段$BC$上除$C$外的任意位置时，该结论均成立。
【解析】
(1) 证明：
∵$△ABC$为等边三角形，
∴$∠B=∠ACD=60°$，$AC=BC$。
在$△ACD$和$△CBF$中，
$\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACD=∠B,\\ CD=BF,\end{array} $
∴$△ACD≌△CBF(SAS)$。
(2) 解：点$D$在线段$BC$上任意位置（但点$D$，$C$不重合）时，四边形$CDEF$是平行四边形。
理由如下：
∵$△ACD≌△CBF$，
∴$∠BCF=∠CAD$，$AD=CF$。
∵$△ADE$为等边三角形，
∴$AD=DE$，$∠ADE=60°$。
∴$DE=CF$。
∵$∠ACD=∠ADE=60°$，$∠ADB=∠ADE+∠BDE$，$∠ADB=∠ACD+∠DAC$，
∴$60°+∠DAC=60°+∠BDE$，
∴$∠DAC=∠BDE$。
∵$∠BCF=∠DAC$，
∴$∠BDE=∠BCF$，
∴$DE// CF$。
又
∵$DE=CF$，
∴四边形$CDEF$是平行四边形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 点$D$在线段$BC$上任意位置（但点$D$，$C$不重合）时，四边形$CDEF$是平行四边形。
【知识点】
等边三角形性质，SAS证全等，平行四边形判定
【点评】
本题综合考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，需要灵活运用各图形的性质和判定定理，通过角与边的等量代换完成推理，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
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