【分析】
1. 首先根据点A和D的坐标特征，得出AD平行于x轴且长度为4，利用菱形邻边相等的性质得到AB=AD=4；
2. 结合菱形对角线互相垂直平分的性质，通过向量点积或距离公式求出m、n的值，确定关键点坐标；
3. 分析OD的初始方向，确定将D旋转到x轴正半轴的旋转角，再利用旋转坐标公式计算出点C旋转后的对应点坐标，结合选项得出结果。
【解析】
1. 确定AD的长度与位置：
已知点$A(m,n)$，$D(m+4,n)$，两点纵坐标相同，故$AD // x$轴，$AD$的长度为$\vert (m+4)-m \vert =4$。
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=AD=4$，且对角线$AC$、$BD$互相垂直平分，$O$为原点，故$B$与$D$关于原点对称，$C$与$A$关于原点对称，即$B(-(m+4),-n)$，$C(-m,-n)$。
2. 求解$m$、$n$的值：
由$AB=4$，根据两点间距离公式：
$\sqrt{[-(m+4)-m]^2 + (-n -n)^2}=4$
平方后化简得：
$(m+2)^2 +n^2=4 \quad (1)$
又$∠ BAD=60°$，根据向量点积公式$\cos60°=\frac{\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AD}}{\vert \overrightarrow{AB} \vert · \vert \overrightarrow{AD} \vert}$，其中$\overrightarrow{AB}=(-2m-4, -2n)$，$\overrightarrow{AD}=(4,0)$，代入得：
$\frac{1}{2}=\frac{(-2m-4) ×4}{4 ×4}$
化简解得$m=-3$，将$m=-3$代入(1)式得$n^2=3$，即$n=\pm\sqrt{3}$。
3. 计算旋转后点$C$的坐标：
当$n=\sqrt{3}$时，$D(1,\sqrt{3})$，$OD$与$x$轴正半轴夹角为$60°$，需将菱形绕$O$点顺时针旋转$60°$（旋转角为$-60°$）使$D$落在$x$轴正半轴上。
此时$C(3,-\sqrt{3})$，根据旋转坐标公式：点$(x,y)$绕原点旋转$α$角后的坐标为$(x\cosα - y\sinα, x\sinα + y\cosα)$，代入$α=-60°$，$\cos(-60°)=\frac{1}{2}$，$\sin(-60°)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$：
$x'=3×\frac{1}{2} - (-\sqrt{3})×(-\frac{\sqrt{3}}{2})=0$
$y'=3×(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\sqrt{3})×\frac{1}{2}=-2\sqrt{3}$
即旋转后点$C$对应点的坐标为$(0,-2\sqrt{3})$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；旋转的坐标变化；平面直角坐标系中点的特征
【点评】
本题综合考查菱形的性质、旋转的性质及平面直角坐标系中点的坐标计算，关键是利用菱形对角线的对称性求出关键点坐标，结合旋转公式计算旋转后的坐标，需注意菱形顶点顺序对结果的影响。
【难度系数】
0.4
