第61页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

$\frac{3}{2}$

解：$(1)①$如图， ∵$AB=6，$$BC=2，$

∴$AC=AB−BC=6−2=4. $

∵$∆ACD$是等边三角形，

∴$∠A=60°.$

∵$CF $为边$AD$上的高，

∴$AF=DF=\frac 12\ \mathrm {A}D=\frac 12\ \mathrm {A}C=2 $

②∵$∆ACD$和$∆BCE$是等边三角形，$BC=2，$

∴$∠DAC=∠BCE=60°，$$CE=2，$

∴$AD//CE. $

∵$DF=2，$

∴$CE=DF. $

∴四边形$CEDF $是平行四边形$. $

∵$CF $为$AD$边上的高，

∴$∠CF_{D}=90°. $

∴四边形$CEDF $是矩形

$ (2)$如图，点$M$即为所求$ $

$(3)$∵$∆ACD$和$∆BCE$是等边三角形，

∴$∠DAB=∠ECB=∠ACD=∠B=60°，$

∴$DG//CE，$$EG//CD. $

∴四边形$CDGE$是平行四边形，

∴$CM=\frac 12CG，$$DM=\frac 12DE. $

当$CM$最小时，$CG_{最小}，$

当且仅当$G C⊥AB$时，$ CG_{最小}. $

∵$∠A=∠B=60°，$

∴$∆ABG $是等边三角形，$CG⊥AB. $

∴$AG=AB=6，$$AC=BC=\frac 12\ \mathrm {A}B=3. $

∴$AD=BE=DG=EG=3. $

∴$DE=\frac 12\ \mathrm {A}B=3. $

∴$DM=\frac 12÷DE=\frac 32 $

1:2

解：$(1)$对角的关系，对边的关系，对角线的关系，等等

$(2)$对角相等，证明：$ $连接$AD，$如图，

∵$AB//DE，$$AF//CD，$

∴$∠DAF=∠CDA，$$∠DAB=∠EDA. $

∴$∠DAF+∠DAB=∠CDA+∠EDA. $

∴$∠A=∠D. $同理，$∠C=∠F，$$∠B=∠E $

$(3)AF=CD. $

理由如下：如图，$ $延长$F A，$$CB，$交于点$M，$$ $延长$FE，$$CD，$交于点$N. $

∵$BC//EF，$$AF//CD，$

∴四边形$MFNC$为平行四边形，

$∠F+∠N=180°，$$ ∠F+∠M=180°. $

∴$MF=CN，$$∠M=∠N. $

由$ (2)$得，$∠BAF=∠CDE，$

∴$∠MAB=∠NDE. $

∵$∠M=∠N，$$ ∠MAB=∠NDE，$$ AB=ED，$

∴$ ∆ABM≌∆DEN (\mathrm {AAS}). $

∴$AM=DN. $

∴$ AF=CD$

【分析】
1. 对于(1)①：先根据线段和差求出AC的长度，结合△ACD是等边三角形得到AD=AC，再利用等边三角形“三线合一”的性质（高同时是中线），即可得出DF是AD的一半，代入数值计算即可。
2. 对于(1)②：要证四边形为矩形，先证其为平行四边形，再找一个直角。利用等边三角形的内角为60°，推出AD//CE，结合CE=DF，可证平行四边形；再由CF是AD边上的高，得到直角，根据矩形判定定理完成证明。
3. 对于(2)：利用等边三角形的对称性，通过连接相关线段（如AE、BD），利用平行四边形对角线互相平分的性质，找到DE的中点M。
4. 对于(3)：由平行四边形的性质可知CM=$\frac{1}{2}$CG，根据垂线段最短，当CG⊥AB时CM最小，此时AC=BC=3，再结合等边三角形性质求出DE的长，进而得到DM的长。
【解析】
(1)①
∵ AB=6，BC=2，
∴ AC=AB - BC=6-2=4。
∵ △ACD是等边三角形，
∴ AD=AC=4。
∵ CF为AD边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，
∴ DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×4=2。
②
∵ △ACD和△BCE是等边三角形，BC=2，
∴ ∠DAC=∠BCE=60°，CE=BC=2，
∴ AD//CE（同位角相等，两直线平行）。
又
∵ DF=2，
∴ CE=DF，
∴ 四边形CEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵ CF为AD边上的高，
∴ ∠CFD=90°，
∴ 四边形CEDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 作图：连接AE、BD交于点G，连接CG，CG与DE的交点即为DE的中点M（或连接DC与BE交于点P，连接EC与AD交于点Q，PQ与DE的交点即为M），保留作图痕迹如图所示。
(3)
∵ △ACD和△BCE是等边三角形，
∴ ∠DAB=∠ECB=∠ACD=∠B=60°，
∴ DG//CE，EG//CD，
∴ 四边形CDGE是平行四边形，
∴ CM=$\frac{1}{2}$CG，DM=$\frac{1}{2}$DE。
要使CM最小，需CG最小，根据垂线段最短，当GC⊥AB时，CG取得最小值。
此时，△ABG为等边三角形，CG⊥AB，
∴ AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=3。
∵ △ACD和△BCE是等边三角形，
∴ AD=AC=3，CE=BC=3，∠DCE=60°，
∴ △DCE为等边三角形，DE=3，
∴ DM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)① $\boldsymbol{2}$；② 证明见上述解析；
(2) 作图痕迹见解析；
(3) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
等边三角形性质，矩形的判定，垂线段最短
【点评】
本题综合考查了等边三角形、矩形的相关性质与判定，以及垂线段最短的应用，需要灵活运用特殊图形的性质分析线段的位置与数量关系，培养几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
1. 对于第(1)问：平行四边形的研究方向包括对边关系、对角关系、对角线关系等，类比这个思路，平行六边形可以从对边的数量/位置关系、对角的数量关系、对角线的关系、内角和、面积相关性质等角度去研究。
2. 对于第(2)问：要探究平行六边形对角的数量关系，可利用平行线的内错角相等性质，通过连接对角线（如AD），将六边形的角转化为内错角，通过角的和差证明对角相等。
3. 对于第(3)问：要判断AF与CD是否相等，可通过延长边构造平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，再结合(2)中对角相等的结论证明三角形全等，通过线段的和差推导AF与CD的关系。
4. 对于第(4)问：结合平行六边形对角相等、对边平行的性质，利用等积变换或全等三角形的面积相等性质，分析△ACE与平行六边形的面积关系，得出面积比。
【解析】
(1) 类比平行四边形的研究过程，平行六边形可以研究的性质有：对边的数量关系、对角的数量关系、对角线的关系、内角和、面积相关性质等（答案不唯一）。
(2) 平行六边形的对角相等，证明如下：
连接AD，如图所示。
∵ $ AB // DE $，
∴ $ ∠ DAB = ∠ EDA $（两直线平行，内错角相等）。
∵ $ AF // CD $，
∴ $ ∠ DAF = ∠ CDA $（两直线平行，内错角相等）。
∴ $ ∠ DAF + ∠ DAB = ∠ CDA + ∠ EDA $，即 $ ∠ FAB = ∠ CDE $。
同理可证 $ ∠ ABC = ∠ DEF $，$ ∠ BCD = ∠ EFA $。
综上，平行六边形的对角相等。
(3) $ AF = CD $，理由如下：
延长FA，CB交于点M，延长FE，CD交于点N。
∵ $ BC // EF $，$ AF // CD $，
∴ 四边形MFNC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∴ $ MF = CN $，$ ∠ M = ∠ N $（平行四边形的对边相等，对角相等）。
由(2)知 $ ∠ BAF = ∠ CDE $，
∴ $ 180° - ∠ BAF = 180° - ∠ CDE $，即 $ ∠ MAB = ∠ NDE $。
在$ △ ABM $和$ △ DEN $中：
$\begin{cases}∠ M = ∠ N \\∠ MAB = ∠ NDE \\AB = DE\end{cases}$
∴ $ △ ABM ≌ △ DEN $（AAS）。
∴ $ AM = DN $。
∵ $ MF = CN $，即 $ AF + AM = CD + DN $，
∴ $ AF = CD $。
(4) 连接AC，CE，AE，根据平行六边形的性质，通过等积变换可得：平行六边形ABCDEF的面积等于2倍的$ △ ACE $的面积，故$ △ ACE $与平行六边形ABCDEF的面积之比是$ 1:2 $。
【答案】
(1) 对边数量关系、对角数量关系、对角线关系等（答案不唯一）；
(2) 平行六边形的对角相等，证明见解析；
(3) $ AF = CD $，理由见解析；
(4) $ \boldsymbol{1:2} $
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 平行四边形的判定与性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过类比平行四边形的研究方法探究平行六边形的性质，考查了类比推理能力与几何证明能力，构造辅助线是解决(2)(3)问的关键，同时渗透了从特殊到一般的数学思想，要求学生能灵活运用平行线、平行四边形、全等三角形的相关知识解决问题。
【难度系数】
0.4