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B
B
$2mn + 3m$
$x^2$
$x+\sqrt{2}$
$x^3+\sqrt{2}x^2$
整式乘法
$4n^2 - m^2$
$2n + m$
$2n - m$
因式分解
(1)正确；
(2)正确；
(3)不正确；
(4)不正确；
(5)正确；
(6)正确
B
D
【分析】
要判断哪个变形是因式分解，需先明确因式分解的核心定义：把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，变形前后是恒等变形，且右边不能出现分式等非整式。接下来逐个分析选项：
1. 选项A：左边是整式的积，右边是多项式，这是整式乘法运算，与因式分解的过程相反，不符合要求；
2. 选项B：左边是多项式，右边是整式的平方（即整式的乘积形式），完全符合因式分解的定义；
3. 选项C：右边出现了分式$\frac{5}{m}$，不是整式的积，不符合因式分解的要求；
4. 选项D：只是对因式进行符号变换，没有将多项式转化为整式积的形式（本身已是积的形式），不属于因式分解。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
选项A：$x(x + 1) = x^2 + x$是整式乘法（从整式的积到多项式），与因式分解过程相反，不是因式分解；
选项B：$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，将多项式转化为整式$(x+1)$的乘积形式，符合因式分解定义；
选项C：$m^2 - 2m - 5 = m(m - 2 - \frac{5}{m})$，右边含分式，不是整式的积，不是因式分解；
选项D：$(x - 3)(y - 4) = (4 - y)(3 - x)$仅为因式的符号变换，未将多项式转化为整式积的形式，不是因式分解。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题重点考查对因式分解定义的理解，判断时需紧扣“多项式化为几个整式的积的形式”这一核心，注意区分整式乘法与因式分解的逆过程，同时要规避右边出现非整式的情况。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。题目已知$16m^2 - □=(4m + 5n)(4m - 5n)$，我们可以先将右边的式子利用平方差公式展开，得到原式的完整形式，再通过对比等式左右两边的项，即可求出“□”所代表的代数式。具体思路：先展开$(4m+5n)(4m-5n)$，得到的结果与$16m^2 - □$对应，从而确定□的值。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，展开等式右边的式子：
$\begin{aligned}(4m + 5n)(4m - 5n)&=(4m)^2 - (5n)^2\\&=16m^2 - 25n^2\end{aligned}$
因为$16m^2 - □=(4m + 5n)(4m - 5n)=16m^2 - 25n^2$，对比等式左右两边的项，可得$□=25n^2$，所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式的应用
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，通过将分解后的因式展开，对比原式确定未知项，属于基础题型，重点检验对平方差公式结构的理解与掌握。
【难度系数】
0.8
【分析】
题目要求找出因式分解后结果为$m(2n + 3)$的多项式，需逆向思考：因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式，因此要得到原多项式，只需将乘积形式展开。运用单项式乘多项式的运算法则，用单项式$m$分别乘多项式$(2n+3)$的每一项，再将所得的积相加即可。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则，展开$m(2n + 3)$：
$m(2n + 3) = m·2n + m·3 = 2mn + 3m$
因此$m(2n + 3)$是多项式$2mn + 3m$因式分解的结果。
【答案】
$2mn + 3m$
【知识点】
单项式乘多项式，因式分解的逆运算
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，核心是理解因式分解是整式乘法的逆过程，通过简单的整式乘法运算即可还原原多项式，侧重对基础概念和运算的考查。
【难度系数】
0.9
【分析】
首先观察等式的结构，等式左边呈现的是两个整式的乘积形式，其中一个是单项式$x^2$，另一个是多项式$x+\sqrt{2}$；将左边的两个整式相乘展开后，得到等式右边的$x^3+\sqrt{2}x^2$；根据运算定义，这种由几个整式相乘得到一个整式的运算属于整式乘法运算，只需对应题目中的空依次填入即可。
【解析】
观察等式$x^2(x + \sqrt{2}) = x^3 + \sqrt{2}x^2$：
1. 等式左边表示$x^2$与$x+\sqrt{2}$相乘；
2. 计算两个整式的乘积，结果为等式右边的$x^3+\sqrt{2}x^2$；
3. 该运算属于整式乘法运算。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
$x^{2}$，$x + \sqrt{2}$，$x^{3} + \sqrt{2}x^{2}$，整式乘法
【知识点】
单项式乘多项式、整式乘法
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查整式乘法的形式与定义，通过观察等式左右两边的对应关系即可完成填空，帮助学生巩固对单项式乘多项式这类整式乘法运算的认知。
【难度系数】
0.9
【分析】
这道题考查因式分解的定义，首先回忆因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。观察等式$4n^2 - m^2 = (2n + m)(2n - m)$，等式左边是一个整式，右边是两个整式相乘的形式，所以我们需要根据这个概念来填写对应的内容，明确变形前后的整式以及这种变形的名称。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
在等式$4n^2 - m^2 = (2n + m)(2n - m)$中，左边的$4n^2 - m^2$是被分解的整式，右边的$(2n + m)$和$(2n - m)$是相乘的两个整式，整个变形过程属于因式分解。因此依次填写$4n^2 - m^2$，$2n + m$，$2n - m$，因式分解。
【答案】
$ 4n^{2} - m^{2} $，$ 2n + m $，$ 2n - m $，因式分解
【知识点】
因式分解概念
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对因式分解定义的理解，需要准确区分整式变形前后的形式，明确因式分解是将多项式转化为整式乘积的过程，有助于后续学习因式分解的具体方法。
【难度系数】
0.8
【分析】
要检验因式分解是否正确，核心思路是利用整式乘法的逆运算：将分解后的整式乘积展开，对比展开结果与原式是否完全一致。若一致则因式分解正确，不一致则错误。具体到每个小题，我们只需分别对右边的乘积式进行展开计算，再和左边的原式对比即可。
【解析】
（1）将右边展开：$(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$，与左边$x^2 - 16$完全相等，因此该因式分解正确。
（2）将右边展开：$(m - 3)(m + 3) = m^2 - 3^2 = m^2 - 9$，与左边$m^2 - 9$完全相等，因此该因式分解正确。
（3）将右边展开：$(x - 3)(x + 1) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3$，与左边$x^2 - 4x + 3$不相等，因此该因式分解错误。
（4）将右边展开：$4m(2m - 3) = 8m^2 - 12m$，与左边$-8m^2 + 12m$符号相反，不相等，因此该因式分解错误。
（5）将右边展开：$(x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$，与左边$x^2 - 4xy + 4y^2$完全相等，因此该因式分解正确。
（6）先展开左边：$9(a + b)^2 - 4(a - b)^2 = 9(a^2 + 2ab + b^2) - 4(a^2 - 2ab + b^2) = 9a^2 + 18ab + 9b^2 - 4a^2 + 8ab - 4b^2 = 5a^2 + 26ab + 5b^2$；
再展开右边：$(5a + b)(a + 5b) = 5a^2 + 25ab + ab + 5b^2 = 5a^2 + 26ab + 5b^2$，左右两边相等，因此该因式分解正确。
【答案】
（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）正确；（6）正确
【知识点】
因式分解的检验，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题主要考查因式分解的验证方法，通过整式乘法逆推是判断因式分解是否正确的核心手段。解题时需注意运算符号、乘法公式的正确应用，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这道题，我们可以利用因式分解与整式乘法的互逆关系来思考：已知二次三项式分解后的形式，先将分解后的式子展开，再根据等式两边对应项的系数相等，建立方程求解m和n的值。具体步骤为：先展开右边的$(x - 9)(x + n)$，得到二次三项式的标准形式，再分别对比一次项系数和常数项，列出关于m、n的方程，最后解方程求出m、n，再对应选项即可。
【解析】
步骤1：展开因式分解后的式子
$\begin{aligned}(x - 9)(x + n)&=x· x + x· n - 9· x - 9· n\\&=x^2 + (n - 9)x - 9n\end{aligned}$
步骤2：根据等式两边对应项系数相等列方程
因为$x^2 + mx - 18=(x - 9)(x + n)$，所以等式两边二次项、一次项、常数项系数分别相等：
常数项：$-9n = -18$
一次项系数：$m = n - 9$
步骤3：解方程求n和m
由$-9n = -18$，解得$n = 2$；
将$n = 2$代入$m = n - 9$，得$m = 2 - 9 = -7$。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘法，因式分解逆运算，系数对应相等法
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，核心是利用“两个相等多项式的对应项系数相等”建立方程求解参数。解题时需熟练掌握多项式乘法法则，注意符号运算的准确性，属于基础题型，有助于巩固因式分解与整式乘法的关联认知。
【难度系数】
0.8
【分析】
本题可利用因式定理求解。若$x - 5$是多项式$2x^2 + 8x + a$的一个因式，根据因式定理，当$x - 5 = 0$即$x = 5$时，该多项式的值为0。因此我们只需将$x = 5$代入多项式，令其等于0，即可建立关于$a$的方程，进而解出$a$的值，再对应选项选出答案。
【解析】
根据因式定理，若$x - 5$是多项式$2x^2 + 8x + a$的因式，则当$x = 5$时，$2x^2 + 8x + a = 0$。
将$x = 5$代入多项式：
$\begin{aligned}2×5^2 + 8×5 + a &= 0\\2×25 + 40 + a &= 0\\50 + 40 + a &= 0\\90 + a &= 0\\a &= -90\end{aligned}$
所以常数$a$的值为$-90$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式定理
2. 代数式求值
【点评】
本题主要考查因式定理的应用，解题的核心是理解“若一次式是多项式的因式，则使该一次式为0的$x$值代入多项式，结果为0”这一关键性质。通过代入求值建立方程求解参数，方法直接易懂，侧重对基础定理的掌握与应用。
【难度系数】
0.8
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