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$y^2 + 9y + 18=(y + 3)(y + 6)$
-140
$3x^2 + 6x$
$15x^2 + 4x - 4$
$4m^2 - 4mn + n^2$
$9a^2 - b^2$
$3x(x + 2)$
$(3x + 2)(5x - 2)$
$(2m - n)^2$
$(3a + b)(3a - b)$
$(x + 5)(x - 2)$和$x(x + 5)(x - 2)$（答案不唯一）
解：将$(x + 1)(x^2 + ax + 5)$展开得：$x^3 + ax^2 + 5x + x^2 + ax + 5 = x^3 + (a + 1)x^2 + (a + 5)x + 5，$与$x^3 + bx^2 + 3x + 5$对比系数，可得：$\begin{cases}a + 1 = b \\ a + 5 = 3\end{cases}，$解得$a = -2，$$b = -1。$故$a = -2，$$b = -1。$
$(x - 1)(x + 2)$
解：​$(2)$​设​$x^2+mx−n=(x−2)(x+a)=x^2+(a−2)x−2a，$​ 
则​$m=a−2，$​​$ n=2a，$​
那么​$2\ \mathrm {m}−n=2(a−2)−2a=2a−4−2a=−4 $​
​$(3)$​由​$x=1$​使​$x^2+2x−3=0，$​
可知一个因式为​$x−1，$​ 由题意得
​$ (x−1)(x^2+bx+c)$​
​$=x^3+bx^2+cx−x^2−bx-c$​
​$= x^3+(b−1)x^2+(c−b)x−c$​
​$=x^3+2x^2−3. $​
∴​$b−1=2，$​​$c=3，$​
解得​$b=3，$​​$c=3$​
【分析】
我们可以通过面积相等的思路来推导因式分解式：先计算左侧四个图形的面积之和，得到一个多项式；再计算右侧大长方形的面积，得到一个整式乘积的形式，由于左右图形总面积相等，即可写出对应的因式分解式子。
【解析】
1. 计算左侧四个图形的面积：
边长为$y$的正方形面积：$y · y = y^2$
长$y$、宽3的长方形面积：$y · 3 = 3y$
长6、宽$y$的长方形面积：$6 · y = 6y$
长6、宽3的长方形面积：$6 · 3 = 18$
则左侧总面积为：$y^2 + 3y + 6y + 18$
2. 计算右侧大长方形的面积：
右侧大长方形的长为$y+6$，宽为$y+3$，面积为$(y+6)(y+3)$
3. 根据左右面积相等，可得：
$ y^{2} + 3y + 6y + 18 = (y + 6)(y + 3) $
【答案】
$ y^{2} + 3y + 6y + 18 = (y + 6)(y + 3) $
【知识点】
因式分解，长方形面积公式
【点评】
本题借助拼图的几何直观，将代数因式分解与几何面积计算结合，体现数形结合思想，帮助理解因式分解与整式乘法的互逆关系，需掌握利用面积相等建立等式的方法。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用因式分解与整式乘法的互逆关系来思考。已知多项式$100x^2 + kxy + 49y^2$分解因式的结果是$(10x - 7y)^2$，那么我们可以先将右边的完全平方展开，得到对应的整式，再通过左右两边同类项的系数相等，就能求出$k$的值。具体步骤是：先回忆完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，把$a=10x$，$b=7y$代入公式展开，然后对比左边多项式中$xy$项的系数，即可得到$k$的值。
【解析】
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$(10x - 7y)^2$展开：
$\begin{aligned}(10x - 7y)^2&=(10x)^2 - 2×10x×7y + (7y)^2\\&=100x^2 - 140xy + 49y^2\end{aligned}$
因为$100x^2 + kxy + 49y^2=(10x - 7y)^2=100x^2 - 140xy + 49y^2$，左右两边同类项的系数对应相等，所以$k=-140$。
【答案】
$-140$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法与因式分解的互逆性
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用以及因式分解与整式乘法的互逆关系，属于基础题型。解题的关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过对应同类项系数相等来求解参数，只要牢记公式，就能轻松解决。
【难度系数】
0.8
【分析】
本题分为整式乘法计算和因式分解两部分，二者互为逆运算。
对于(1)的整式乘法：
①是单项式乘多项式，需依据单项式乘多项式法则，用单项式去乘多项式的每一项，再将所得的积相加；
②是多项式乘多项式，按照多项式乘多项式法则，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项；
③是完全平方的展开，直接套用完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$计算；
④是平方差的展开，套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算。
对于(2)的因式分解：
本质是(1)中整式乘法的逆过程，①通过提取公因式即可还原；②③④分别逆用(1)中对应的多项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式，将多项式分解为几个整式的乘积形式。
【解析】
(1) 利用整式乘法法则计算：
① $3x(x + 2) = 3x·x + 3x·2 = 3x^2 + 6x$；
② $(3x + 2)(5x - 2) = 3x·5x + 3x·(-2) + 2·5x + 2·(-2) = 15x^2 - 6x + 10x - 4 = 15x^2 + 4x - 4$；
③ $(2m - n)^2 = (2m)^2 - 2·2m·n + n^2 = 4m^2 - 4mn + n^2$；
④ $(3a + b)(3a - b) = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$。
(2) 逆用整式乘法进行因式分解：
① $3x^2 + 6x$，提取公因式$3x$，得$3x(x + 2)$；
② $15x^2 + 4x - 4$，逆用(1)②的整式乘法结果，得$(3x + 2)(5x - 2)$；
③ $4m^2 + n^2 - 4mn$先整理为$4m^2 - 4mn + n^2$，逆用完全平方公式，得$(2m - n)^2$；
④ $9a^2 - b^2$逆用平方差公式，得$(3a + b)(3a - b)$。
【答案】
11. (1) ① $3x^{2} + 6x$ ② $15x^{2} + 4x - 4$ ③ $4m^{2} - 4mn + n^{2}$ ④ $9a^{2} - b^{2}$
(2) ① $3x(x + 2)$ ② $(3x + 2)(5x - 2)$ ③ $(2m - n)^{2}$ ④ $(3a + b)(3a - b)$
【知识点】
整式乘法运算、因式分解、乘法公式应用
【点评】
本题重点考查整式乘法与因式分解的互逆关系，涵盖了单项式乘多项式、多项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式及其逆用，是代数运算的基础题型。熟练掌握这些基本运算和公式，理解二者的逆运算逻辑，能帮助巩固代数运算的核心能力，为后续复杂代数学习奠定基础。
【难度系数】
0.9
【分析】
要构造含有因式$x+5$和$x-2$的多项式，可按以下思路思考：
1. 首先，将两个已知因式直接相乘，得到的多项式必然含有这两个因式，这是最基础的构造方法；
2. 其次，在上述得到的多项式基础上，乘以一个非零整式（如单项式$x$、常数$2$或一次式$x+1$等），得到的新多项式依然会包含$x+5$和$x-2$这两个因式，因为乘法的逆运算因式分解中，这两个因式仍为新多项式的因式。
【解析】
1. 计算两个已知因式的乘积：
$\begin{aligned}(x+5)(x-2)&=x^2 - 2x + 5x - 10\\&=x^2 + 3x - 10\end{aligned}$
该多项式含有因式$x+5$和$x-2$。
2. 将上述多项式乘以单项式$x$，得到新多项式：
$\begin{aligned}x(x^2 + 3x - 10)&=x^3 + 3x^2 - 10x\end{aligned}$
该多项式同样含有因式$x+5$和$x-2$。
（注：也可选择其他非零整式与基础多项式相乘，构造结果不唯一）
【答案】
$ x^{2} + 3x - 10 $，$ x^{3} + 3x^{2} - 10x $（答案不唯一）
【知识点】
多项式因式构造、整式乘法运算
【点评】
本题核心是理解因式与多项式的关系：若多项式含有某两个因式，则该多项式与任意非零整式的乘积，仍包含这两个因式。构造方法灵活，先通过因式相乘得到基础多项式，再结合整式乘法即可得到多个符合要求的多项式。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用因式分解与整式乘法的互逆关系，先将右边的乘积式展开，再根据多项式相等的条件——对应项的系数相等，建立关于a、b的方程，进而求解a和b的值。具体思路如下：
1. 运用多项式乘多项式的法则，把$(x + 1)(x^2 + ax + 5)$展开并合并同类项；
2. 将展开后的多项式与左边的$x^3 + bx^2 + 3x + 5$对比，根据对应项系数相等列出方程；
3. 先解方程求出a的值，再代入另一个方程求出b的值。
【解析】
首先展开右边的多项式乘积：
$\begin{aligned}(x + 1)(x^2 + ax + 5)&=x· x^2 + x· ax + x·5 + 1· x^2 + 1· ax + 1·5\\&=x^3 + ax^2 + 5x + x^2 + ax + 5\\&=x^3 + (a + 1)x^2 + (a + 5)x + 5\end{aligned}$
因为$x^3 + bx^2 + 3x + 5=(x + 1)(x^2 + ax + 5)$，根据多项式相等时对应项系数相等：
对于x的一次项系数：$a + 5 = 3$，解得$a = -2$；
对于x的二次项系数：$a + 1 = b$，将$a = -2$代入得：$b = -2 + 1 = -1$。
【答案】
$a=-2$，$b=-1$
【知识点】
多项式乘多项式法则，多项式相等的条件
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，核心是利用多项式相等时对应项系数相等求解参数。解题时需熟练掌握多项式乘法运算步骤，仔细合并同类项，避免计算错误，属于基础题型，可帮助巩固整式运算和因式分解的相关知识。
【难度系数】
0.8
【分析】
1. 对于第(1)问：根据材料中的试根法，已知$x=1$时多项式$x^2+x-2$的值为0，可知多项式有因式$(x-1)$，设原式=$(x-1)(x+m)$，将右边展开后与左边多项式对比对应项系数，即可求出$m$的值，进而完成因式分解。
2. 对于第(2)问：已知多项式有因式$(x-2)$，可设另一个因式为$(x+a)$，将两个因式相乘展开，与原多项式$x^2+mx-n$对比对应项系数，得到$m$、$n$与$a$的关系式，再代入$2m-n$进行化简计算，即可得到结果；也可利用试根法，将$x=2$代入多项式使其值为0，直接推导$2m-n$的值。
3. 对于第(3)问：由$x=1$时多项式$x^3+2x^2-3$的值为0，可知多项式有因式$(x-1)$，根据题意设原式=$(x-1)(x^2+bx+c)$，将右边展开后与原多项式对比对应项系数，列出关于$b$、$c$的方程，求解即可得到$b$、$c$的值。
【解析】
(1) 设$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + m)$，展开右边得：
$x^2 + mx - x - m = x^2 + (m - 1)x - m$
对比左边$x^2 + x - 2$的系数，可得：
$\begin{cases}m - 1 = 1\\-m = -2\end{cases}$
解得$m = 2$，因此$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$。
(2) 设$x^2 + mx - n = (x - 2)(x + a)$（$a$为常数），展开右边得：
$x^2 + ax - 2x - 2a = x^2 + (a - 2)x - 2a$
对比左边$x^2 + mx - n$的系数，可得：
$\begin{cases}m = a - 2\\n = 2a\end{cases}$
将其代入$2m - n$得：
$2m - n = 2(a - 2) - 2a = 2a - 4 - 2a = -4$
(3) 根据题意，$x^3 + 2x^2 - 3 = (x - 1)(x^2 + bx + c)$，展开右边得：
$x^3 + bx^2 + cx - x^2 - bx - c = x^3 + (b - 1)x^2 + (c - b)x - c$
对比左边$x^3 + 2x^2 - 3$的系数，可得：
$\begin{cases}b - 1 = 2\\-c = -3\end{cases}$
解得$b = 3$，$c = 3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x - 1)(x + 2)}$；
(2) $\boldsymbol{-4}$；
(3) $\boldsymbol{b=3，c=3}$。
【知识点】
试根法分解因式，多项式乘多项式，待定系数法
【点评】
本题主要考查试根法在因式分解中的应用，以及多项式相等的条件（对应项系数相等）。解题的关键是理解试根法的原理，掌握多项式乘法的运算规则，并能通过对比系数建立方程求解未知参数，培养了代数运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
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