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C
A
D
-6
6(a - b)²
解：原式= x(x + y)
解：原式= 2b(a - 2b)
解：原式= 3x(a - 4b + 1)
解：原式= 2ab(3b² - ab + 2a²)
C
C
A
B
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循“先系数后字母”的思路：首先找出多项式各项系数的最大公约数，再找出各项都含有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式。对于多项式$3m^{2}+6mn$，先看系数3和6，它们的最大公约数是3；再看字母，两项都含有的字母是m，第一项中m的次数是2，第二项中m的次数是1，取最低次幂1次，n只在第二项出现，不属于公因式的部分，因此公因式是$3×m=3m$。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：多项式两项的系数分别为3和6，它们的最大公约数是3；
2. 确定相同字母的最低次幂：两项都含有的字母是m，$m^2$中m的次数是2，$mn$中m的次数是1，取最低次幂$m^1=m$；
3. 将系数最大公约数与相同字母最低次幂相乘，得到公因式为$3×m=3m$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题考查公因式的确定方法，属于基础题型，解题核心是掌握“系数取最大公约数，相同字母取最低次幂”的找公因式步骤，只要牢记该方法就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这道因式分解题，首先观察多项式的特征：它是由两项组成的整式，两项分别为$a^2$和$-4a$，它们都含有公因式$a$。解题思路是先运用提公因式法进行因式分解，这是因式分解最基础的方法，优先考虑提取公因式。接下来分析每个选项：选项B是用平方差公式分解，但原式并不符合平方差的形式（平方差是两个平方项的差，原式中$-4a$不是平方项）；选项C过度分解，原式无法分解到这个程度；选项D的结果不是整式乘积的形式，不符合因式分解的要求。只有提取公因式后的结果符合要求。
【解析】
对多项式$a^2 - 4a$分解因式：
1. 找出两项的公因式：$a^2 = a · a$，$-4a = a · (-4)$，公因式为$a$；
2. 提取公因式：$a^2 - 4a = a(a - 4)$。
对比选项，只有A选项的结果正确。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题主要考查因式分解的基本方法——提公因式法，属于基础题。解题时需牢记因式分解的原则：结果必须是整式的乘积形式，优先考虑提取公因式，避免错误使用其他分解方法。同时要注意区分因式分解与整式加减的形式，如选项D就不是因式分解的最终结果。
【难度系数】
0.9
【分析】
本题考查提公因式法因式分解的正确性判断，解题思路是逐个分析选项，根据提公因式法的规则：确定公因式（包括系数的符号、相同字母的最低次幂），提取公因式后剩余的部分要正确，且因式分解需彻底，无剩余公因式，以此判断每个选项的正误。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$a^{2}b-2ab$的公因式是$ab$，提取公因式后应为$ab(a - 2)$，而选项中仅提取了$b$，剩余的$ab - 2a$还含有公因式$a$，分解不彻底，故A错误。
选项B：$-a^{2}b + 2ab$的公因式是$-ab$，提取公因式后应为$-ab(a - 2)$，选项中符号错误，写成了$-ab(a + 2)$，故B错误。
选项C：$ab - ab^{2}$的公因式是$ab$，提取公因式后应为$ab(1 - b)$，而选项中写成$ab(1 - b^{2})$，不仅提取错误，且$1 - b^{2}$还可继续分解，分解不彻底，故C错误。
选项D：$-a^{2}b + ab^{2}$的公因式是$-ab$，提取公因式后得到$-ab(a - b)$，提取正确，且分解彻底，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，符号运算，因式分解的彻底性
【点评】
本题为基础题，重点考查提公因式法因式分解的核心要点，包括公因式的确定（含符号）、提取后剩余部分的运算以及因式分解需彻底的要求，学生易在符号处理和分解彻底性上出错，需细心核对每一步。
【难度系数】
0.8
【分析】
观察所求代数式$mx + my$，可先通过提取公因式$m$将其变形为$m(x + y)$，这样就能利用题目给出的$m=-2$和$x + y=3$这两个已知条件，采用整体代入的方法直接计算，无需单独求解$x$、$y$的具体值，简化运算过程。
【解析】
1. 对代数式进行因式分解：
$mx + my = m(x + y)$
2. 代入已知条件$m=-2$，$x + y=3$：
原式$= -2×3 = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
提取公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查代数式求值与因式分解的综合应用，核心是运用整体代入思想，通过提取公因式将所求式子转化为含已知条件的形式，降低计算难度，属于基础题型，旨在巩固因式分解和代数式求值的基本方法。
【难度系数】
0.9
【分析】
要确定两个多项式的公因式，需分两部分分析：先找系数的最大公约数，再找相同因式的最低次幂，最后将两者组合即可得到公因式。首先计算系数18和12的最大公约数，再观察两个式子中相同因式$(a - b)$的次数，取次数最低的部分，两者结合就是公因式。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：
18和12的最大公约数为6；
2. 确定相同因式的最低次幂：
两个多项式都含有因式$(a - b)$，其中$18b(a - b)^2$中$(a - b)$的次数是2，$12(a - b)^3$中$(a - b)$的次数是3，取最低次幂$(a - b)^2$；
3. 组合得到公因式：
将系数的最大公约数与相同因式的最低次幂相乘，得到公因式为$6(a - b)^2$。
【答案】
$6(a - b)^2$
【知识点】
公因式的确定、最大公约数求解、相同因式最低次幂选取
【点评】
本题考查公因式的确定方法，核心是分别处理系数和相同因式：系数取最大公约数，相同因式取最低次幂，这是提公因式分解因式的基础，需熟练掌握该思路。
【难度系数】
0.8
【分析】
这四道题均采用提公因式法分解因式，解题思路如下：
1. 确定公因式：公因式是多项式各项都含有的公共因式，需从系数（取各项系数的最大公约数）和相同字母（取相同字母的最低次幂）两方面考虑；若多项式首项为负，通常提取带负号的公因式，使括号内首项为正。
2. 提取公因式：用多项式的每一项分别除以公因式，得到另一个因式，再将公因式与该因式相乘，完成因式分解。
具体到每一问：
（1）$x^2+xy$中，系数最大公约数为1，相同字母$x$的最低次幂是$x$，公因式为$x$；
（2）$-4b^2+2ab$中，首项为负，系数最大公约数为2，相同字母$b$的最低次幂是$b$，提取带负号的公因式$-2b$；
（3）$3ax-12bx+3x$中，系数最大公约数为3，相同字母$x$的最低次幂是$x$，公因式为$3x$，注意最后一项除以公因式后得1，不能遗漏；
（4）$6ab^3-2a^2b^2+4a^3b$中，系数最大公约数为2，相同字母$a$的最低次幂是$a$、$b$的最低次幂是$b$，公因式为$2ab$。
【解析】
（1）提取公因式$x$：
$x^2 + xy = x · x + x · y = x(x + y)$
（2）提取公因式$-2b$：
$-4b^2 + 2ab = -2b · 2b + (-2b) · (-a) = -2b(2b - a)$
（3）提取公因式$3x$：
$3ax - 12bx + 3x = 3x · a - 3x · 4b + 3x · 1 = 3x(a - 4b + 1)$
（4）提取公因式$2ab$：
$6ab^3 - 2a^2b^2 + 4a^3b = 2ab · 3b^2 - 2ab · ab + 2ab · 2a^2 = 2ab(3b^2 - ab + 2a^2)$
【答案】
(1) $x(x + y)$；(2) $-2b(2b - a)$；(3) $3x(a - 4b + 1)$；(4) $2ab(3b^2 - ab + 2a^2)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的基础应用，重点考察公因式的确定方法，以及提取公因式时的注意事项（如首项为负时的处理、最后一项提取后剩余1不能遗漏），是因式分解的入门题型，帮助学生巩固提公因式的核心步骤。
【难度系数】
0.8
【分析】
要确定多项式各项的公因式，需从三个维度逐步分析：
1. 系数：找出各项系数的最大公约数，同时考虑首项符号（通常公因式系数与首项符号一致，方便后续运算）；
2. 相同字母：提取各项都含有的字母，仅部分项含有的字母不能纳入公因式；
3. 相同字母的次数：取各项中该字母的最低次幂。
具体到本题，先看系数：-4、12、-8的最大公约数是4，结合首项为负，系数取-4；再看相同字母：三项都含a、b，c仅第三项有，故不包含；最后看次数：a的最低次数是2，b的最低次数是2，因此公因式为-4a²b²，对应选项C。
【解析】
步骤1：确定公因式的系数
多项式各项系数为-4、12、-8，它们的最大公约数是4，由于首项系数为负，公因式系数取-4；
步骤2：确定公因式中的相同字母
观察多项式各项，-4a²b²、12a²b²、-8a³b²c中，仅a、b是三项共有的字母，c仅第三项含有，故公因式包含a、b；
步骤3：确定相同字母的最低次幂
a的次数在各项中分别为2、2、3，最低次幂是2；b的次数在各项中均为2，最低次幂是2；
综上，多项式各项的公因式是-4×a²×b²=-4a²b²，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题考查多项式公因式的确定方法，属于基础题，解题时需兼顾系数的最大公约数、共有的相同字母及相同字母的最低次幂，注意首项系数为负时，公因式系数通常取负号，避免符号失误。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先，观察原式中的两项，其中第二项是$x(3 - x)$，而题目要求提取公因式$(x - 3)$，因此需要先将$(3 - x)$转化为$-(x - 3)$，使两项的公因式统一为$(x - 3)$。接着，将原式变形为$2(x - 3) - x(x - 3)$，再提取公因式$(x - 3)$，剩下的部分就是另一个因式，最后对比选项即可得出答案。
【解析】
$\begin{aligned}2(x - 3)+x(3 - x)&=2(x - 3)-x(x - 3)\\&=(x - 3)(2 - x)\end{aligned}$
因此，提取公因式$(x - 3)$后，另一个因式是$2 - x$。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法因式分解、因式符号变换
【点评】
本题重点考查提取公因式法分解因式的应用，核心在于灵活处理互为相反数的因式（如$x-3$与$3-x$）的符号转换，解题时需注意符号的变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
【分析】
这道题是有理数的幂运算题，观察到两项底数相同且指数相差1，可利用同底数幂的乘法法则将高次幂变形，再通过提取公因式简化计算。具体思路：先把$(-5)^{2014}$转化为$(-5)^{2013}×(-5)$，使两项拥有公因式$(-5)^{2013}$，提取公因式后计算括号内的数值，最后结合负数幂的符号性质化简结果，再匹配选项。
【解析】
$\begin{aligned}(-5)^{2013}+(-5)^{2014}&=(-5)^{2013}+(-5)^{2013}×(-5)\\&=(-5)^{2013}×[1+(-5)]\\&=(-5)^{2013}×(-4)\\&=(-1)^{2013}×5^{2013}×(-4)\\&=(-1)×5^{2013}×(-4)\\&=4×5^{2013}\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法，提取公因式法
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，核心是通过变形提取公因式简化计算，需注意负数奇次幂、偶次幂的符号处理，避免符号错误。解题时要熟练掌握幂的运算法则，学会将高次幂转化为低次幂形式进行简便运算。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先，根据篱笆长度可知矩形的周长为20m，利用矩形周长公式可得出a+b的值；接着观察已知等式$a^{2}b+ab^{2}=240$，可以通过提取公因式进行因式分解，将其转化为含a+b和ab的形式，最后把a+b的值代入变形后的等式，即可求出ab（矩形面积）的值。
【解析】
1. 由篱笆长度为20m，可知矩形周长为20m，根据矩形周长公式$C=2(a+b)$，可得：
$2(a+b)=20$，
两边同时除以2，得$a+b=10$。
2. 对已知等式$a^{2}b+ab^{2}=240$提取公因式$ab$，进行因式分解：
$ab(a+b)=240$。
3. 将$a+b=10$代入上式，得：
$ab×10=240$，
两边同时除以10，解得$ab=24$。
因为矩形的面积为$ab$，所以这个矩形场地的面积为$24m^{2}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形周长公式；提取公因式法因式分解；矩形面积公式
【点评】
本题主要考查因式分解的应用与矩形周长、面积公式的综合运用，解题的关键是通过因式分解将已知等式转化为含a+b的形式，再结合周长求出的a+b的值计算面积，题目注重基础公式的灵活运用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
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