第65页

信息发布者：
-15
(x + 2)(x - 1)
(x - 2y)(a + b)
解：原式= (a - x)(a - y)(x - y)
解：原式​$= x(x + y)^n(-x² - 2xy - y² + x - y)$​
解：（1）设$ y = x^2 - 4x ，$
则原式$ = (y + 1)(y + 7) - 7 = y^2 + 8y = y(y + 8) = (x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 8) = x(x - 4)(x^2 - 4x + 8) ；$
（2）设$ t = x^2 + x ，$
原式$ = t(t + 2) + (t + 1)(t - 1) + 1 = t^2 + 2t + t^2 - 1 + 1 = 2t^2 + 2t = 2t(t + 1) = 2x(x + 1)(x^2 + x + 1) $
提公因式法
2
​$ (1 + x)^{2025}$​
解：​$(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)²+...+x(x+1)^{n}$​
​$=(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)^{n-1}]$​
​$=(1+x)²·[(1+x+x(x+1)+…+x(x+1)^{n-2}]…=(1+x)^{n+1}$​
【分析】
首先，观察所求代数式的结构，发现无法直接代入已知条件，因此需要先对代数式进行因式分解。通过分组分解法，将代数式分组后提取公因式，转化为含有已知条件中$a - b$和$b - c$的形式，再利用已知条件推导相关式子的值，最后代入求解即可。具体思路为：先对代数式分组提取公因式，再结合已知条件求出$c - b$的值，最后代入化简后的式子计算结果。
【解析】
第一步：对代数式进行因式分解
$\begin{aligned}ac - ab - bc + b^{2}&=(ac - bc)+(-ab + b^{2})\\&=c(a - b)-b(a - b)\\&=(a - b)(c - b)\end{aligned}$
第二步：根据已知条件推导$c - b$的值
已知$b - c = 5$，则$c - b = -(b - c) = -5$，且题目给出$a - b = 3$。
第三步：代入化简后的式子计算结果
将$a - b = 3$，$c - b = -5$代入$(a - b)(c - b)$得：
$3×(-5)=-15$
【答案】
-15
【知识点】
分组分解因式、代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的应用与代数式求值，核心是通过分组分解将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，体现了整体代入的数学思想，需要学生熟练掌握分组分解法的技巧，学会将未知代数式向已知条件转化。
【难度系数】
0.6
【分析】
(1) 观察式子结构，发现后两项$-x-2$可变形为$-(x+2)$，此时原式转化为$x(x+2)-(x+2)$，式子中出现公因式$(x+2)$，再通过提取公因式完成因式分解；
(2) 注意到$(2y - x)$与$(x - 2y)$互为相反数，可将$-b(2y - x)$转化为$b(x - 2y)$，原式变形为$a(x - 2y)+b(x - 2y)$，提取公因式$(x - 2y)$即可完成因式分解。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}x(x + 2)-x - 2&=x(x + 2)-(x + 2)\\&=(x + 2)(x - 1)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}a(x - 2y)-b(2y - x)&=a(x - 2y)+b(x - 2y)\\&=(x - 2y)(a + b)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x + 2)(x - 1)$；(2) $(x - 2y)(a + b)$
【知识点】
1. 提取公因式法因式分解
2. 相反数式的变形转化
【点评】
本题为因式分解基础题，重点考查提取公因式法的应用，以及对式子中互为相反数项的变形能力，解题关键是通过观察式子结构，准确变形构造出公因式，进而完成因式分解。
【难度系数】
0.8
【分析】
（1）首先观察式子中的因式，发现$(x - a)$与$(a - x)$、$(y - a)$与$(a - y)$互为相反数，先将$(x - a)(y - a)$变形为$(a - x)(a - y)$，此时式子两项含有公因式$(a - x)(a - y)$，提取公因式后即可完成因式分解；
（2）先确定公因式，式子两项都含有$x$和$(x + y)^n$，先提取公因式$x(x + y)^n$，再对括号内的部分展开$(x + y)^2$，并化简整理即可。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= x(a - x)(a - y) - y(a - x)(a - y) \\&= (a - x)(a - y)(x - y)\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= x(x + y)^n(x - y) - x(x + y)^n · (x + y)^2 \\&= x(x + y)^n[(x - y) - (x + y)^2] \\&= x(x + y)^n(x - y - x^2 - y^2 - 2xy)\end{aligned}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{(a - x)(a - y)(x - y)}$；
（2）$\boldsymbol{x(x + y)^n(x - y - x^2 - y^2 - 2xy)}$
【知识点】
提公因式法分解因式；因式符号变形；同底数幂的乘法
【点评】
本题主要考查提公因式法分解因式，解题的关键是通过符号变形将互为相反数的因式转化为相同因式，准确识别公因式，同时要熟练掌握幂的运算规则，在化简过程中注意符号和整式展开的准确性，避免出现符号错误或展开遗漏项的问题。
【难度系数】
0.6
【分析】
（1）小涵的结果是$(x^{2}-4x)(x^{2}-4x + 8)$，其中$x^2-4x$还可以提取公因式$x$，进一步分解为$x(x-4)$，这样就分解彻底了；
（2）对于多项式$(x^{2}+x)(x^{2}+x + 2)+(x^{2}+x + 1)(x^{2}+x - 1)+1$，可采用换元法，设$x^2+x=y$，将原式转化为关于$y$的整式，先利用多项式乘法和平方差公式展开，再合并同类项，然后用提公因式法分解因式，最后把$y$换回$x^2+x$，继续分解到每一个因式都不能再分解为止。
【解析】
（1）小涵分解的结果为$(x^{2}-4x)(x^{2}-4x + 8)$，对$x^2-4x$提取公因式：
$x^2-4x=x(x-4)$，
因此最终结果为$x(x-4)(x^{2}-4x + 8)$；
（2）设$x^2+x=y$，将其代入原式：
$\begin{aligned}原式&=y(y + 2)+(y + 1)(y - 1)+1\\&=y^2+2y+(y^2-1)+1\\&=y^2+2y+y^2-1+1\\&=2y^2+2y\\&=2y(y+1)\end{aligned}$
将$y=x^2+x$回代：
$=2(x^2+x)(x^2+x+1)$
再对$x^2+x$提取公因式$x$：
$=2x(x+1)(x^2+x+1)$
【答案】
（1）$\boldsymbol{x(x - 4)(x^2 - 4x + 8)}$；
（2）$\boldsymbol{2x(x + 1)(x^2 + x + 1)}$
【知识点】
换元法因式分解、提公因式法因式分解、平方差公式
【点评】
本题重点考查换元法在因式分解中的应用，换元法可简化多项式的复杂结构，帮助明确因式分解的方向。同时需牢记因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止，确保分解的彻底性。
【难度系数】
0.6
【分析】
(1)观察因式分解过程，每次都是提取公因式$(1+x)$，所以方法是提公因式法；第一次提取后得到$(1+x)[1+x+x(x+1)]$，第二次对括号内的式子再次提取公因式$(1+x)$，所以共用了2次。
(2)对于式子$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+···+x(x + 1)^{2024}$，可仿照题干方法，每次提取公因式$(1+x)$，每提取一次式子整体次数增加1，经过2024次提公因式后，最终结果为$(1+x)^{2025}$。
(3)对于一般形式$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+···+x(x + 1)^{n}$，反复运用提公因式法，第一次提取后括号内式子最高次项次数减1，经过n次提取后，最终得到$(1+x)^{n+1}$。
【解析】
(1) 观察给定的因式分解步骤，每次操作都是提取公因式$(1+x)$，因此分解因式的方法是提公因式法；
第一次提取公因式：$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}=(1 + x)[1 + x + x(x + 1)]$，
第二次提取公因式：$(1 + x)[1 + x + x(x + 1)]=(1 + x)^{2}(1 + x)$，
所以共用了2次提公因式法。
(2) 对$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+···+x(x + 1)^{2024}$因式分解：
第一次提取公因式$(1+x)$得：$(1+x)[1 + x + x(x + 1)+···+x(x + 1)^{2023}]$，
第二次提取公因式$(1+x)$得：$(1+x)^2[1 + x + ···+x(x + 1)^{2022}]$，
……
重复此操作2024次后，最终结果为$(1+x)^{2025}$。
(3) 对$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+···+x(x + 1)^{n}$（$n$为正整数）因式分解：
$\begin{aligned}原式&=(1+x)[1 + x + x(x + 1)+···+x(x + 1)^{n-1}]\\&=(1+x)^2[1 + x + ···+x(x + 1)^{n-2}]\\&=···\\&=(1+x)^{n+1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 提公因式法，2；
(2) $(1+x)^{2025}$；
(3) $(1+x)^{n+1}$（$n$为正整数）
【知识点】
提公因式法因式分解，规律型因式分解
【点评】
本题通过逐步提公因式的过程，考查了提公因式法的多次应用及归纳推理能力。解题核心是观察式子结构变化，总结规律，将特殊情况推广到一般情况，提升因式分解的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
上一页 下一页