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B
C
D
解：原式= $(a-7)(a+7)$
解：原式= $(2x-3y)(2x+3y)$
解：原式= $(\frac{3}{4}a-b)(\frac{3}{4}a+b)$
解：原式= $(m-2n-3)(m+2n+3)$
A
B
$(x-3)(x+3)(x^2+9)$
10
20
63，65
解：原式= $(1-\frac{1}{4}y)(1+\frac{1}{4}y)$
解：原式= $x(x-5)(x+5)$
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式因式分解，首先需明确平方差公式的结构特征：公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，要求多项式必须是两个数（或整式）的平方项的差，即两项符号相反，且每一项都能写成平方的形式。接下来逐个分析选项：
1. 选项A：$-x^2 - y^2$可变形为$-(x^2 + y^2)$，是两个平方项的和，不符合“平方差”的要求；
2. 选项B：$-2x^2 + 2y^2$先提取公因式2，得到$2(y^2 - x^2)$，此时$y^2$和$x^2$都是平方项，且是差的形式，符合平方差公式特征；
3. 选项C：$x^2 - 6x$只有一个平方项，另一项是一次项，不满足“两个平方项”的条件；
4. 选项D：$x^2 + 9y^2$是两个平方项的和，不符合平方差的要求。
综上，只有选项B符合条件。
【解析】
平方差公式的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，适用条件是多项式为两个平方项的差（两项符号相反，且均为平方形式）。
选项A：$-x^2 - y^2=-(x^2 + y^2)$，是平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用其因式分解；
选项B：$-2x^2 + 2y^2=2(y^2 - x^2)=2(y+x)(y-x)$，先提取公因式后得到平方项的差，符合平方差公式，可用其因式分解；
选项C：$x^2 - 6x=x(x-6)$，仅含一个平方项，不符合平方差公式结构，不能用其因式分解；
选项D：$x^2 + 9y^2$是平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用其因式分解。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解、提公因式法
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构特征的理解，解题关键是牢记平方差公式需满足“两项、符号相反、均为平方形式”这三个条件，遇到有公因式的多项式时，可先提取公因式再判断是否符合平方差公式的要求。
【难度系数】
0.8
【分析】
观察所求代数式$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}$的结构，可将其变形为平方差公式的形式：$x^{2}-(\frac{y}{2})^{2}$，而平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a=x$，$b=\frac{y}{2}$，恰好题目中给出了$x+\frac{y}{2}$和$x-\frac{y}{2}$的值，因此无需解方程组求出$x$、$y$的具体值，直接利用平方差公式变形后整体代入计算即可，这样能简化运算步骤。
【解析】
根据平方差公式：
$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=x^{2}-(\frac{y}{2})^{2}=(x+\frac{y}{2})(x-\frac{y}{2})$
已知$x+\frac{y}{2}=3$，$x-\frac{y}{2}=1$，将其代入上式：
原式$=3×1=3$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用及整体代入思想，通过观察代数式结构，合理利用公式进行变形，可避免解方程组的繁琐运算，提升解题效率，提醒学生在解题时要注重对式子结构的观察，选择最优解法。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先观察式子的结构，发现$(x - 1)^2 - 9$符合平方差公式$a^2 - b^2$的形式，其中$a = x - 1$，$b = 3$（因为$9 = 3^2$）。解题思路是先将原式转化为平方差的标准形式，再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$进行因式分解，最后化简括号内的整式，对比选项得出结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(x - 1)^{2}-9\\=&(x - 1)^{2}-3^{2}\\=&[(x - 1)-3][(x - 1)+3]\\=&(x - 1 - 3)(x - 1 + 3)\\=&(x - 4)(x + 2)\\=&(x + 2)(x - 4)\end{aligned}$
因此分解因式的结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 因式分解
【点评】
本题属于基础的因式分解题目，核心是识别出式子符合平方差公式的结构特征，通过将常数项转化为平方形式，套用公式即可完成分解。需要熟练掌握平方差公式的形式，避免化简括号内整式时出现计算错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
这四道小题均符合平方差公式的特征，解题核心是利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$进行因式分解。首先需将每个式子转化为“两个数（或整式）的平方相减”的形式，明确公式中的$a$和$b$，再代入公式完成分解。
【解析】
（1）对于$a^2 - 49$，可变形为$a^2 - 7^2$，对比平方差公式，其中$a$对应公式中的$a$，$7$对应公式中的$b$，代入公式得：
$a^2 - 49=(a+7)(a-7)$
（2）对于$4x^2 - 9y^2$，先变形为$(2x)^2 - (3y)^2$，其中$2x$对应公式中的$a$，$3y$对应公式中的$b$，代入公式得：
$4x^2 - 9y^2=(2x+3y)(2x-3y)$
（3）对于$\frac{9}{16}a^2 - b^2$，变形为$(\frac{3}{4}a)^2 - b^2$，其中$\frac{3}{4}a$对应公式中的$a$，$b$对应公式中的$b$，代入公式得：
$\frac{9}{16}a^2 - b^2=(\frac{3}{4}a + b)(\frac{3}{4}a - b)$
（4）对于$m^2 - (2n + 3)^2$，其中$m$对应公式中的$a$，$(2n+3)$对应公式中的$b$，代入公式得：
$m^2 - (2n + 3)^2=[m+(2n+3)][m-(2n+3)]=(m+2n+3)(m-2n-3)$
【答案】
（1）$(a + 7)(a - 7)$；（2）$(2x + 3y)(2x - 3y)$；（3）$(\dfrac{3}{4}a + b)(\dfrac{3}{4}a - b)$；（4）$(m + 2n + 3)(m - 2n - 3)$
【知识点】
平方差公式因式分解
【点评】
本题是平方差公式因式分解的基础应用，重点在于准确识别式子中的平方项，将原式转化为平方差的标准形式。熟练掌握平方差公式的结构特征，就能快速完成这类因式分解题目。
【难度系数】
0.8
【分析】
要判断$a^{2}-(b - c)^{2}$的结果符号，首先考虑利用平方差公式对原式进行因式分解，将其转化为与三角形三边相关的乘积形式；再根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，分别判断每个因式的正负性，最后根据正数相乘的结果为正数，得出结论。具体步骤为：先分解得到两个因式，再分别依据三边关系判断每个因式大于0，进而确定整个式子的结果为正数。
【解析】
1. 利用平方差公式分解因式：
$a^{2}-(b - c)^{2}=(a+(b-c))(a-(b-c))=(a+b-c)(a-b+c)$
2. 根据三角形三边关系分析因式正负：
在$△ ABC$中，任意两边之和大于第三边，
所以$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$；
同时$a+c＞b$，即$a-b+c=a+c-b＞0$。
3. 判断乘积的符号：
因为两个正数相乘的结果为正数，所以$(a+b-c)(a-b+c)＞0$，即$a^{2}-(b - c)^{2}$的结果一定是正数。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，三角形三边关系
【点评】
本题结合了因式分解和三角形的基本性质，解题的核心是通过平方差公式将原式转化为可利用三边关系判断符号的形式，考查了对基础公式和三角形性质的综合运用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
【分析】
要判断式子$(2k + 3)^{2}-4k^{2}$的值总能被哪个数整除，首先需要对式子进行化简。我们可以利用完全平方公式展开$(2k+3)^2$，再通过整式的加减运算合并同类项，最后观察化简结果的公因数，结合k为整数的条件，即可确定该式子能被哪个数整除。
【解析】
步骤1：利用完全平方公式展开$(2k+3)^2$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（其中$a=2k$，$b=3$），可得：
$(2k+3)^2=(2k)^2+2×2k×3+3^2=4k^2+12k+9$
步骤2：代入原式并化简
将展开后的式子代入原式，合并同类项：
$(2k + 3)^{2}-4k^{2}=4k^2+12k+9-4k^2=12k+9$
步骤3：提取公因式
对$12k+9$提取公因数3，可得：
$12k+9=3(4k+3)$
步骤4：判断整除性
因为k为任意整数，所以$4k+3$是整数，因此$3(4k+3)$是3的整数倍，即原式的值总能被3整除。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式应用、整式化简、整除判定
【点评】
本题考查整式运算与整除的性质，核心是通过完全平方公式展开式子并化简，提取公因式后观察结果的因数特征即可得出结论。题目难度较低，重点在于熟练掌握整式运算的基本公式，理清化简步骤就能快速求解。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先观察原式$x^4 - 81$，可将其变形为$(x^2)^2 - 9^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，先利用平方差公式第一次分解，得到$(x^2 + 9)(x^2 - 9)$；接着发现$x^2 - 9$同样是平方差形式（$x^2 - 3^2$），再次运用平方差公式分解，而$x^2 + 9$在实数范围内无法继续分解，最终得到彻底分解的结果。
【解析】
$\begin{aligned}x^4 - 81&=(x^2)^2 - 9^2\\&=(x^2 + 9)(x^2 - 9)\\&=(x^2 + 9)(x^2 - 3^2)\\&=(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)\end{aligned}$
【答案】
$(x^{2} + 9)(x + 3)(x - 3)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式在因式分解中的多次应用，解题关键是要做到因式分解彻底，即每个因式在实数范围内不能再分解为止，避免只分解一次就停止的错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先观察所求代数式$x^2 - 4y^2$，发现其符合平方差公式的形式，可因式分解为$(x - 2y)(x + 2y)$。接着分析已知方程组，第一个方程直接给出$x - 2y = 5$，第二个方程$2x + 4y = 4$可通过变形求出$x + 2y$的值，最后将两个值代入分解后的式子，利用整体代入法即可求出结果。
【解析】
1. 对$x^2 - 4y^2$进行因式分解：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，可得$x^2 - 4y^2=(x - 2y)(x + 2y)$。
2. 由已知方程$2x + 4y = 4$，两边同时除以2得：
$x + 2y = 2$。
3. 已知$x - 2y = 5$，将$x - 2y = 5$和$x + 2y = 2$代入$(x - 2y)(x + 2y)$：
$5×2 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
平方差公式、整体代入求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整体代入思想的运用，无需解出$x$、$y$的具体值，通过对已知条件和所求代数式的变形，利用整体代入可快速求解，有效简化运算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
【分析】
观察所求代数式的结构，它是两个平方的差，符合平方差公式的特征。优先利用平方差公式对其因式分解，将其转化为含$a+b$和$a-b$的形式，再代入已知条件计算，可避免求解$a$、$b$的具体值，简化运算。具体思路为：先通过平方差公式展开原式，化简展开后的括号，再代入已知的$a+b=4$和$a-b=1$计算。
【解析】
1. 利用平方差公式分解因式：
$(a + 2)^{2}-(b - 2)^{2}=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]$
2. 化简括号内的代数式：
$\begin{aligned}(a+2)+(b-2)&=a+2+b-2=a+b\\(a+2)-(b-2)&=a+2-b+2=a-b+4\end{aligned}$
因此原式化简为：$(a+b)(a-b+4)$
3. 代入已知条件计算：
将$a+b=4$，$a-b=1$代入得：
$4×(1+4)=4×5=20$
【答案】
20
【知识点】
平方差公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整体代入思想，通过因式分解将待求式转化为可直接利用已知条件的形式，有效简化运算。解题时需注意括号化简过程中的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决这个问题，关键是对$2^{24}-1$进行因式分解，它符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的形式。我们可以逐步利用平方差公式分解，直到找到60到70之间的因数：先把$2^{24}$看作$(2^{12})^2$，分解出$(2^{12}-1)(2^{12}+1)$，再对$2^{12}-1$继续用平方差公式分解，得到$(2^6-1)(2^6+1)$，计算这两个式子的结果，就能找到符合范围的整数。
【解析】
利用平方差公式逐步分解：
$\begin{aligned}2^{24}-1&=(2^{12})^2 - 1^2\\&=(2^{12}-1)(2^{12}+1)\\&=[(2^6)^2 - 1^2](2^{12}+1)\\&=(2^6 - 1)(2^6 + 1)(2^{12}+1)\\&=(64-1)(64+1)(4096+1)\\&=63×65×4097\end{aligned}$
其中63和65是60到70之间的整数，因此这两个整数是63和65。
【答案】
63和65
【知识点】
平方差公式应用，因式分解
【点评】
本题主要考查平方差公式的多次运用，需要熟练掌握因式分解的方法，通过逐步分解找到符合条件的因数，培养学生的数感和因式分解的能力。
【难度系数】
0.4
【分析】
本题考查因式分解，需根据每个式子的特征，选择合适的分解方法：
（1）式子$1-\frac{1}{16}y^{2}$可变形为平方差的形式$1^2 - (\frac{1}{4}y)^2$，直接利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解即可；
（2）式子$x^3 - 25x$先提取公因式$x$，得到$x(x^2 - 25)$，再对$x^2 - 25$利用平方差公式分解；
（3）式子$25(a + b)^2 - 9(a - b)^2$可看作$[5(a+b)]^2 - [3(a-b)]^2$，先利用平方差公式分解，再化简括号内的整式，最后提取公因式将结果化为最简；
（4）式子$(x + y)^3(x - y)-(x + y)(x - y)^3$先提取公因式$(x+y)(x-y)$，得到$(x+y)(x-y)[(x+y)^2 - (x-y)^2]$，再对中括号内的式子利用平方差公式化简，最终完成分解。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}1-\frac{1}{16}y^{2}&=1^2 - (\frac{1}{4}y)^2\\&=(1 + \frac{1}{4}y)(1 - \frac{1}{4}y)\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}x^{3}-25x&=x(x^2 - 25)\\&=x(x^2 - 5^2)\\&=x(x + 5)(x - 5)\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}25(a + b)^{2}-9(a - b)^{2}&=[5(a+b)]^2 - [3(a-b)]^2\\&=[5(a+b)+3(a-b)][5(a+b)-3(a-b)]\\&=(5a + 5b + 3a - 3b)(5a + 5b - 3a + 3b)\\&=(8a + 2b)(2a + 8b)\\&=2(4a + b)×2(a + 4b)\\&=4(4a + b)(a + 4b)\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}(x + y)^{3}(x - y)-(x + y)(x - y)^{3}&=(x+y)(x-y)[(x+y)^2 - (x-y)^2]\\&=(x+y)(x-y)[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]\\&=(x+y)(x-y)(2x)(2y)\\&=4xy(x + y)(x - y)\end{aligned}$
【答案】
（1）$(1 + \dfrac{1}{4}y)(1 - \dfrac{1}{4}y)$；（2）$x(x + 5)(x - 5)$；（3）$4(4a + b)(a + 4b)$；（4）$4xy(x + y)(x - y)$
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是遵循“先提公因式，再用公式”的分解原则，分解过程中需运用整体思想（如将$a+b$、$x+y$看作整体），且要保证分解彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
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