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C
D
C
A
1
-1
​$ \frac {1}{10}$​
32
-4
an＞an+1
解：原式= $\frac{x-1}{x+1}$
解：原式= $\frac{x+1}{2(x-1)}$
【分析】
本题需要判断分式等式是否成立，需依据分式的基本性质、分式的加减运算法则及分式约分的方法，对每个选项逐一分析：
1. 回忆分式基本性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，不可随意加、减同一个数；
2. 对于可因式分解的分式，先分解分子，再结合分母不为0的条件约分判断；
3. 分式加减需通分，不能直接将分子、分母分别相加。通过举反例或化简的方式验证每个选项的正误。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：分式的分子分母同时加1不符合分式的基本性质。举反例：当$a=1$，$b=2$时，左边$\frac{b}{a}=\frac{2}{1}=2$，右边$\frac{b+1}{a+1}=\frac{3}{2}=1.5$，$2≠1.5$，等式不成立；
选项B：分子分母同时为“2倍+1”的形式，不符合分式基本性质。举反例：当$a=1$，$b=0$时，左边$\frac{2×0+1}{2×1+1}=\frac{1}{3}$，右边$\frac{0}{1}=0$，$\frac{1}{3}≠0$，等式不成立；
选项C：因为$a^2-1=(a+1)(a-1)$，且原式中分母$a+1≠0$（否则分式无意义），所以$\frac{a^2-1}{a+1}=\frac{(a+1)(a-1)}{a+1}=a-1$，约分后等式成立；
选项D：分式加法需通分计算，$\frac{b}{a}+\frac{b}{c}=\frac{bc+ab}{ac}=\frac{b(a+c)}{ac}$，并非$\frac{2b}{a+c}$。举反例：当$a=1$，$c=1$，$b=1$时，左边$\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2$，右边$\frac{2×1}{1+1}=1$，$2≠1$，等式不成立。
综上，只有选项C的等式成立。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式的约分，分式的加减运算
【点评】
本题考查分式的核心运算规则与性质，解题时需紧扣分式基本性质的“乘除同整式，而非加减”、分式加减需通分、约分需先因式分解且保证分母不为0这些关键点，通过举反例或化简的方式快速判断选项正误，是分式入门的基础题型，需熟练掌握相关法则。
【难度系数】
0.7
【分析】
要找出与$\frac{-x + y}{-2x - y}$值相等的分式，需利用分式的符号变化规律和基本性质来变形原式。首先明确：分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；且分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。我们可以通过提取分子和分母中的负号，将原式化简，再与选项逐一对比即可得到答案。
【解析】
对给定分式进行变形：
$\frac{-x + y}{-2x - y} = \frac{-(x - y)}{-(2x + y)}$（分子提取-1，将$-x+y$转化为$-(x-y)$；分母提取-1，将$-2x-y$转化为$-(2x+y)$）
根据分式的基本性质，分子分母的-1（不为0）可以约去，可得：
$\frac{-(x - y)}{-(2x + y)} = \frac{x - y}{2x + y}$
对比各选项，只有选项D的分式与变形后的分式一致。
【答案】
D
【知识点】
分式的符号法则、分式的基本性质
【点评】
本题属于分式基础题，主要考查分式的符号变化规律，解题核心是掌握分式分子、分母符号的处理方法，通过提取负号化简原式后与选项对比即可快速得出结果，易错点是容易混淆分子分母符号变化的规则，导致变形错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这道题，我们的思路是先根据题意写出a、b都扩大3倍后的新分式，再将新分式化简，最后与原分式对比，判断分式值的变化情况。具体步骤为：首先确定a、b扩大3倍后的表达式为3a、3b，分别代入原分式的分子和分母，得到新的分式；然后对新分式进行化简，提取公因式后约分，再和原分式比较倍数关系，从而得出结论。
【解析】
当分式$\frac{2ab}{3a - 4b}$的分子分母中的$a$，$b$都扩大3倍时：
1. 新的分子为：$2×(3a)×(3b)=2×9ab=18ab$；
2. 新的分母为：$3×(3a)-4×(3b)=9a-12b=3(3a-4b)$；
3. 因此变化后的分式为：$\frac{18ab}{3(3a-4b)}=\frac{6ab}{3a-4b}$；
4. 原分式为$\frac{2ab}{3a-4b}$，对比可知$\frac{6ab}{3a-4b}=3×\frac{2ab}{3a-4b}$，即分式的值扩大为原来的3倍。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质、分式的化简
【点评】
本题主要考查分式基本性质的应用，解题关键是准确代入字母扩大后的数值，通过提取公因式、约分等步骤化简新分式，再与原分式对比判断值的变化。题目难度较低，侧重对基础概念的理解与简单运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
【分析】
这是一道工程类的分式方程应用题，解题思路如下：
1. 先根据设未知数的条件确定两个模型单独处理的时间：已知设$R_{2}$单独处理需$x\ h$，因为$R_{2}$所需时间比$R_{1}$少$2h$，所以$R_{1}$单独处理需$(x+2)\ h$。
2. 回忆工程问题核心关系：工作效率=工作总量÷工作时间，通常把总工作量看作1，由此可分别表示出两个模型的工作效率：$R_{2}$的效率是$\frac{1}{x}$，$R_{1}$的效率是$\frac{1}{x+2}$。
3. 合作完成时，工作效率之和等于总工作量除以合作时间，已知合作1.5h完成，所以合作效率是$\frac{1}{1.5}$，据此可列出效率之和的等式，对应正确方程。
【解析】
设$R_{2}$单独处理这批数据需要$x\ h$，则$R_{1}$单独处理需要$(x+2)\ h$。
将这批数据的总量看作单位“1”，根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，可得：
$R_{2}$的工作效率为$\frac{1}{x}$，$R_{1}$的工作效率为$\frac{1}{x+2}$。
因为两个模型合作1.5h完成任务，合作的工作效率之和等于$\frac{1}{1.5}$，因此可列方程：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 2}=\frac{1}{1.5}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的应用（工程问题）
2. 工程问题数量关系
【点评】
本题主要考查工程问题中工作总量、工作时间、工作效率三者的关系，关键是准确根据已知条件表示出两个模型的工作时间和效率，再结合合作的工作情况列出方程，需要注意区分单独处理时间的关系，避免出现时间表示错误的问题。
【难度系数】
0.7
【分析】
(1) 本题是同分母分式的减法运算，根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，再对分子化简约分即可得到结果。
(2) 分式的值为0需满足两个条件：分子为0且分母不为0。先求解分子为0时a的取值，再排除使分母为0的a值，即可得到符合条件的a。
【解析】
(1) $\frac{2m}{m + n}-\frac{m - n}{n + m}$
$=\frac{2m - (m - n)}{m + n}$（同分母分式相减，分母不变，分子相减）
$=\frac{2m - m + n}{m + n}$（去括号）
$=\frac{m + n}{m + n}$（合并同类项）
$=1$（约分，$m + n ≠ 0$）
(2) 要使$\frac{\vert a\vert - 1}{a - 1}$的值为0，需满足：
$\begin{cases}\vert a\vert - 1 = 0 \\a - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$\vert a\vert - 1 = 0$得$\vert a\vert = 1$，即$a = 1$或$a = -1$；
由$a - 1 ≠ 0$得$a ≠ 1$；
综上，$a = -1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
同分母分式减法，分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式的基础运算与分式值为0的条件，运算时需牢记同分母分式的运算法则，处理分式值为0的问题时，切勿忽略分母不为0的限制条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先观察已知条件与所求分式的结构特征，已知条件是两个分式的和为3，所求分式的分子、分母可整理为含$m+n$与$mn$的形式。解题思路为：先对已知等式通分变形，得到$m+n$与$mn$的关系式，再将所求分式中的$m+n$用含$mn$的式子整体代换，最后通过约分计算出结果。
【解析】
1. 对已知条件进行变形：
已知$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$，根据分式加法法则通分可得：
$\frac{m+n}{mn}=3$，
由已知可知$m≠0$，$n≠0$，因此$mn≠0$，两边同乘$mn$得：
$m+n=3mn$。
2. 将$m+n=3mn$代入所求分式：
分子：$m - 2mn + n=(m+n)-2mn=3mn-2mn=mn$；
分母：$3m + mn + 3n=3(m+n)+mn=3×3mn + mn=9mn+mn=10mn$。
3. 约分计算分式的值：
$\frac{m - 2mn + n}{3m + mn + 3n}=\frac{mn}{10mn}=\frac{1}{10}$（$mn≠0$，可约去$mn$）。
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法、分式通分运算
【点评】
本题考查分式的化简求值，关键在于利用整体代入思想简化计算。通过对已知条件通分变形得到$m+n$与$mn$的关系，将所求分式转化为仅含$mn$的形式，进而约分求解，体现了整体思想在代数求值中的重要应用，需熟练掌握分式的基本运算技巧。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用完全平方公式的变形来推导。首先，已知$x+\frac{1}{x}=6$，先对其两边平方，结合完全平方公式展开，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；再将目标式$(x-\frac{1}{x})^2$用完全平方公式展开，把求出的$x^2+\frac{1}{x^2}$代入计算，即可得到结果。
【解析】
1. 对已知条件$x+\frac{1}{x}=6$两边平方：
$(x+\frac{1}{x})^2=6^2=36$
2. 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开左边：
$x^2+2· x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=36$
化简得：$x^2+2+\frac{1}{x^2}=36$
移项计算$x^2+\frac{1}{x^2}$的值：
$x^2+\frac{1}{x^2}=36-2=34$
3. 计算$(x-\frac{1}{x})^2$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开：
$(x-\frac{1}{x})^2=x^2-2· x·\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}$
将$x^2+\frac{1}{x^2}=34$代入上式：
$(x-\frac{1}{x})^2=34-2=32$
【答案】
32
【知识点】
完全平方公式，代数式变形
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，核心是掌握完全平方公式的结构特征，通过已知条件的变形求出中间代数式的值，再代入目标式计算。解题时需注意公式展开后的符号和常数项，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决分式方程无解的问题，需明确分式方程无解的两种情形：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解为原分式方程的增根（即使分母为0的根）。首先对原方程去分母转化为整式方程，再结合这两种情形分析：
1. 原方程分母为$x-2$和$2-x$，可知$x≠2$，因此增根只能是$x=2$；
2. 先将方程去分母，把分式方程转化为整式方程，由于转化后的整式方程是一次方程，一次方程当系数不为0时总有解，因此只需考虑整式方程的解为增根$x=2$的情况，将$x=2$代入整式方程即可求出$k$的值。
【解析】
步骤1：去分母，将分式方程转化为整式方程
方程两边同时乘以$(x-2)$（$x≠2$），注意$2-x=-(x-2)$，则：
$2 - k = 3x$
步骤2：分析分式方程无解的情况
对于整式方程$3x=2 - k$，$x$的系数$3≠0$，因此该整式方程总有解，故分式方程无解只能是因为整式方程的解是原分式方程的增根。
原分式方程的分母不能为0，即$x-2≠0$，得增根为$x=2$。
步骤3：代入增根求$k$的值
将$x=2$代入整式方程$2 - k = 3x$，得：
$2 - k = 3×2$
解得：$k=2-6=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
分式方程的增根、分式方程无解的判定
【点评】
本题考查分式方程无解的相关知识，需准确区分“整式方程无解”和“整式方程的解为增根”这两种导致分式方程无解的情况，解题时要注意去分母时的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.3
【分析】
要比较$a_{n+1}$与$a_n$的大小，可采用作差法：先明确两者的项组成，通过作差抵消公共项，再化简剩余表达式并判断其正负性，进而确定大小关系。具体思路为：
1. 对比$a_n$和$a_{n+1}$的表达式，找出公共项；
2. 计算$a_{n+1}-a_n$，抵消公共项后得到剩余项的和；
3. 化简剩余式子，根据$n$为正整数的条件判断差的正负，得出大小结论。
【解析】
已知$a_{n}=\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 2}+···+\frac{1}{2n + 1}$，$a_{n + 1}=\frac{1}{n + 2}+\frac{1}{n + 3}+···+\frac{1}{2n + 3}$，
计算$a_{n+1}-a_n$：
$\begin{aligned}a_{n+1}-a_n&=(\frac{1}{n + 2}+\frac{1}{n + 3}+···+\frac{1}{2n + 3})-(\frac{1}{n + 1}+\frac{1}{n + 2}+···+\frac{1}{2n + 1})\\&=\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{n+1}\\&=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{n+1}\\&=-\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2n+3}\\&=\frac{-(2n+3)+2(n+1)}{2(n+1)(2n+3)}\\&=\frac{-2n-3+2n+2}{2(n+1)(2n+3)}\\&=\frac{-1}{2(n+1)(2n+3)}\end{aligned}$
因为$n$为正整数，所以$2(n+1)(2n+3)＞0$，分子$-1＜0$，故$a_{n+1}-a_n＜0$，即$a_{n+1}＜a_n$。
【答案】
$a_{n}＞a_{n + 1}$
【知识点】
作差法比较大小、数列通项分析
【点评】
本题考查作差法在数列项大小比较中的应用，核心是通过表达式变形抵消公共项，再利用分式通分运算判断差的正负。解题关键是准确识别两个表达式的差异项，熟练掌握分式的化简运算。
【难度系数】
0.6
【分析】
第（1）题：先计算两个括号内的分式减法，将整数化为同分母分式后通分计算，再把除法转化为乘法，最后通过约分得到最简分式；
第（2）题：先对分子、分母中能因式分解的部分进行因式分解，再计算括号内的分式减法（将整数化为同分母分式后通分），接着把除法转化为乘法，最后约分得到最简结果。
【解析】
（1）原式$=(\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x - 1}{x^2})÷(\frac{x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2})$
$=\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2}÷\frac{x^2 - 1}{x^2}$
$=\frac{(x - 1)^2}{x^2}×\frac{x^2}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{x - 1}{x + 1}$
（2）原式$=\frac{(x + 1)^2}{2(x - 3)}÷(\frac{x(x - 3)}{x - 3}-\frac{1 - 3x}{x - 3})$
$=\frac{(x + 1)^2}{2(x - 3)}÷\frac{x^2 - 3x - 1 + 3x}{x - 3}$
$=\frac{(x + 1)^2}{2(x - 3)}÷\frac{x^2 - 1}{x - 3}$
$=\frac{(x + 1)^2}{2(x - 3)}×\frac{x - 3}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{x + 1}{2(x - 1)}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{x - 1}{x + 1}}$；（2）$\boldsymbol{\frac{x + 1}{2(x - 1)}}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题核心是遵循“先括号，后乘除”的运算顺序，熟练运用通分、约分、因式分解等技巧，运算时注意符号变化，确保结果化为最简分式。
【难度系数】
0.6
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