第100页

信息发布者：
a
|a|
-a
a≥0
2025
A
B
解：原式= π-3
解：原式​$= -6x\sqrt (-x)$​
D
B
2-4a
a - b + 3c
解：原式= 2 - m
解：原式= 10 - 2x
【分析】
首先回忆二次根式的性质：二次根式的结果具有非负性，所以$\sqrt{a^2}$的结果一定是非负数。而一个数的平方开根号，结果等于这个数的绝对值，即$\sqrt{a^2}=|a|$。接下来根据绝对值的代数意义进行分类讨论：当$a≥0$时，绝对值等于它本身，即$|a|=a$；当$a＜0$时，绝对值等于它的相反数，即$|a|=-a$。
【解析】
根据二次根式的非负性可知：$\sqrt{a^{2}}=|a|$；
根据绝对值的代数意义：
当$a≥0$时，$|a|=a$；
当$a＜0$时，$|a|=-a$。
因此$\sqrt{a^{2}}=|a|=\begin{cases}a\ (a ≥ 0),\\ -a\ (a ＜ 0).\\\end{cases}$
【答案】
$|a|$，$a$，$-a$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的代数意义
【点评】
本题考查二次根式与绝对值的基础性质，是根式化简的核心知识点之一，需要熟练掌握分类讨论的思想，理解非负性在根式运算中的应用。
【难度系数】
0.9
【分析】
要解决这个问题，我们需要分别分析等式左右两边式子的有意义条件和化简结果：
1. 对于左边的$\sqrt{a^2}$：任何实数的平方都是非负数，因此该式子对全体实数$a$都有意义，化简结果为$|a|$；
2. 对于右边的$(\sqrt{a})^2$：二次根式有意义的条件是被开方数非负，因此$a$必须满足$a≥0$，此时该式子化简结果为$a$；
3. 要使$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2$成立，即$|a|=a$，而$|a|=a$的条件是$a≥0$，同时结合右边式子的有意义条件，最终确定$a$的取值条件。
【解析】
1. 分析$\sqrt{a^2}$：
无论$a$取何实数，$a^2≥0$，故$\sqrt{a^2}$对全体实数$a$有意义，且$\sqrt{a^2}=|a|$；
2. 分析$(\sqrt{a})^2$：
二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是$a≥0$，此时$(\sqrt{a})^2=a$；
3. 等式$\sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2$等价于$|a|=a$，而$|a|=a$成立的条件是$a≥0$，同时右边式子有意义也要求$a≥0$，因此$a$需满足$a≥0$。
【答案】
$a≥0$
【知识点】
二次根式的性质、二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式的核心性质与有意义的条件，解题关键是分别明确等式两边式子的取值范围和化简结果，综合两者的要求得出成立条件，易忽略右边式子的定义域限制，需特别注意。
【难度系数】
0.8
【分析】
要化简该二次根式，首先回忆二次根式的核心性质：对于任意实数$a$，$\sqrt{a^2} = |a|$，二次根式的结果具有非负性，不能直接去掉根号与平方得到原数。接下来计算$|-2025|$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，由此可得出最终结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2} = |a|$，对原式进行转化：
$\sqrt{(-2025)^{2}} = |-2025|$
根据绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数：
$|-2025| = 2025$
【答案】
2025
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的基本性质与绝对值的运算。需要注意二次根式的化简结果必须是非负的，容易出错的点是忽略二次根式的非负性，直接得出$-2025$，牢记$\sqrt{a^2}=|a|$是解题的关键。
【难度系数】
0.9
【分析】
要判断各选项的正误，需紧扣算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根，算术平方根的结果是非负的。解题时先计算根号内的平方运算，再根据算术平方根的定义计算最终结果，逐一排查选项：
1. 选项A：先算根号内的平方，再结合负号计算结果；
2. 选项B、C：需注意$(-3)^2$的结果为正，算术平方根结果非负，不能为负数或±3；
3. 选项D：算术平方根只有一个非负结果，不能是±3，避免混淆算术平方根与平方根的概念。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$-\sqrt{3^{2}}=-\sqrt{9}=-3$，计算符合规则，结果正确；
选项B：$\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3≠-3$，违背算术平方根的非负性，计算错误；
选项C：$\sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3$，算术平方根是唯一的非负数，不能表示为$\pm3$，该选项错误；
选项D：$\sqrt{3^{2}}=\sqrt{9}=3$，算术平方根只有一个非负结果，不能为$\pm3$，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义、二次根式的性质
【点评】
本题核心考查算术平方根的定义，易错点是混淆算术平方根与平方根的概念：算术平方根结果为唯一非负数，平方根结果为互为相反数的两个数。解题时需先计算根号内的平方运算，再依据算术平方根的非负性判断结果。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，将题目中的等式转化为绝对值形式，即$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$。题目给出该式等于$3-x$，而$3-x$是$x-3$的相反数，根据绝对值的性质：当$|a|=-a$时，$a≤0$，因此可得到关于$x$的不等式$x-3≤0$，解这个不等式就能得出$x$满足的条件。
【解析】
1. 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$
2. 已知$\sqrt{(x-3)^2}=3-x$，因此：
$|x-3|=3-x$
3. 由于$3-x=-(x-3)$，根据绝对值的性质：若$|a|=-a$，则$a≤0$，所以：
$x-3≤0$
4. 解不等式$x-3≤0$，得：
$x≤3$
因此$x$满足的条件是$x≤3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查二次根式与绝对值性质的综合应用。解题关键是熟练掌握$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，以及绝对值等于其相反数时的取值规律，通过转化为不等式求解$x$的范围，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
【分析】
对于（1），根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先将原式转化为绝对值形式，再判断$3-π$的正负性，因为$π\approx3.14＞3$，所以$3-π$为负数，负数的绝对值是它的相反数，进而化简；
对于（2），首先根据二次根式有意义的条件，被开方数$-36x^3≥0$，结合$-36＜0$可判断出$x≤0$，再将被开方数分解为完全平方因式与剩余因式的乘积，利用二次根式的乘法法则拆分，最后根据$x$的取值范围确定开方后因式的符号，完成化简。
【解析】
（1）$\sqrt{(3 - π)^{2}}=|3-π|$，
因为$π＞3$，所以$3-π＜0$，
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，
所以$|3-π|=π-3$；
（2）由二次根式有意义的条件可知：$-36x^3≥0$，
因为$-36＜0$，所以$x^3≤0$，即$x≤0$，
$\sqrt{-36x^3}=\sqrt{36x^2·(-x)}=\sqrt{36}·\sqrt{x^2}·\sqrt{-x}$，
因为$x≤0$，所以$\sqrt{x^2}=|x|=-x$，$\sqrt{36}=6$，
代入得：$6·(-x)·\sqrt{-x}=-6x\sqrt{-x}$。
【答案】
(1) $π - 3$；(2) $-6x\sqrt{-x}$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，二次根式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式的化简运算，核心是掌握$\sqrt{a^2}=|a|$这一性质，同时需注意二次根式被开方数的非负性，尤其是第（2）题中要根据被开方数的符号确定字母的取值范围，避免因忽略符号而出错，属于基础题型，需熟练掌握相关运算法则。
【难度系数】
0.7
【分析】
首先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，题目给出$\sqrt{a^2}=3$，可转化为$|a|=3$；再根据绝对值的定义，绝对值等于3的实数有两个，分别是3和-3，因此实数$a$的值为$\pm3$，对应选项D。
【解析】
解：根据二次根式的性质可知：$\sqrt{a^2}=|a|$
已知$\sqrt{a^2}=3$，则$|a|=3$
根据绝对值的性质，绝对值等于3的实数为$\pm3$，即$a=\pm3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质
【点评】
本题考查二次根式与绝对值的基础性质，属于易错题，部分学生容易忽略$a$为负数的情况，需牢记$\sqrt{a^2}$的结果是非负的，对应的$a$可正可负。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先，我们需要利用二次根式的性质化简$\sqrt{a^2}$，根据$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{a^2}=|a|$。已知$a＜0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$|a|=-a$。接下来将其代入原式，得到$\frac{-a}{2a}$，因为$a≠0$（$a＜0$），可以约去分子分母的$a$，进而计算出结果，再对应选项选出答案。
【解析】
因为$a＜0$，根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，
又因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，
则原式$\frac{\sqrt{a^2}}{2a}=\frac{-a}{2a}$，
由于$a≠0$，约分可得：$\frac{-a}{2a}=-\frac{1}{2}$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的性质与绝对值的化简，核心是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，再结合字母的正负性去掉绝对值符号进行计算，解题时需注意符号的正确处理，避免因符号失误导致错误。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先，观察根号内的式子$1 - 4a + 4a^2$，可将其转化为完全平方形式；接着利用二次根式$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，把根式转化为绝对值形式；再根据已知条件$a ≤ \dfrac{1}{2}$，判断绝对值内代数式的正负性：由$a ≤ \dfrac{1}{2}$可得$2a ≤ 1$，即$2a - 1 ≤ 0$，$1 - 2a ≥ 0$；最后根据绝对值的化简规则，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
1. 对根号内的式子进行因式分解：
$1 - 4a + 4a^2=(1 - 2a)^2$
2. 利用二次根式的性质化简：
$\sqrt{1 - 4a + 4a^2}=\sqrt{(1 - 2a)^2}=|1 - 2a|$
3. 根据$a ≤ \dfrac{1}{2}$判断绝对值内式子的正负：
因为$a ≤ \dfrac{1}{2}$，所以$2a ≤ 1$，则$1 - 2a ≥ 0$，$2a - 1 ≤ 0$。
4. 去掉绝对值符号并计算：
$|1 - 2a|=1 - 2a$，$|2a - 1|=-(2a - 1)=1 - 2a$
所以原式$=1 - 2a + 1 - 2a=2 - 4a$
【答案】
$2 - 4a$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题考查二次根式与绝对值的综合化简，核心是根据已知条件准确判断绝对值内代数式的正负性，熟练运用完全平方公式、二次根式性质及绝对值的化简规则是解题关键，需要注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.8
【分析】
要化简这个式子，首先利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将每个根式转化为绝对值形式；再根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断绝对值内代数式的正负性；最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项得到结果。具体思考步骤：
1. 转化根式：$\sqrt{(a - b + c)^2}=|a - b + c|$，同理处理另外两个根式；
2. 判断正负：根据三角形三边关系，$a+c＞b$，故$a - b + c=(a+c)-b＞0$；$a+c＞b$，故$b - c - a=b-(a+c)＜0$；$b+c＞a$，故$b + c - a＞0$；
3. 去绝对值：正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，去掉绝对值后合并同类项。
【解析】
1. 根据二次根式的性质$\sqrt{m^2}=|m|$，将原式转化为绝对值形式：
$\mathrm{原式}=|a - b + c| + |b - c - a| + |b + c - a|$
2. 利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负：
因为$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三边，根据“三角形两边之和大于第三边”：
$a + c ＞ b$，则$a - b + c=(a + c)-b＞0$；
$a + c ＞ b$，则$b - c - a=b-(a + c)＜0$；
$b + c ＞ a$，则$b + c - a＞0$。
3. 根据绝对值的性质去掉绝对值符号：
因为$a - b + c＞0$，所以$|a - b + c|=a - b + c$；
因为$b - c - a＜0$，所以$|b - c - a|=-(b - c - a)=-b + c + a$；
因为$b + c - a＞0$，所以$|b + c - a|=b + c - a$。
4. 代入原式并合并同类项：
$\mathrm{原式}=(a - b + c)+(-b + c + a)+(b + c - a)$
$=a - b + c - b + c + a + b + c - a$
$=(a + a - a)+(-b - b + b)+(c + c + c)$
$=a - b + 3c$
【答案】
$\boldsymbol{a - b + 3c}$
【知识点】
二次根式的性质、三角形三边关系、绝对值化简
【点评】
本题综合考查二次根式性质与三角形三边关系的应用，核心是利用三角形三边关系准确判断绝对值内代数式的正负，这是正确去掉绝对值符号的关键，合并同类项时需注意同类项的系数运算，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
（1）首先观察根号内的式子，可通过完全平方公式将其变形为完全平方式，再依据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$进行化简，结合已知条件$m＜2$判断绝对值内式子的正负，进而去掉绝对值得到最终结果。
（2）先根据二次根式有意义的条件确定$x$的取值范围，再把根号内的式子转化为完全平方式，利用二次根式的性质化简，最后合并同类项得出结果。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}\sqrt{m^{2} - 4m + 4}&=\sqrt{(m-2)^2}\\&=|m-2|\\\because m＜2，\therefore m-2＜0\\\therefore |m-2|&=-(m-2)=2-m\end{aligned}$
（2）
由二次根式有意义的条件可知，$5-x≥0$，即$x≤5$。
$\begin{aligned}(\sqrt{5 - x})^{2} + \sqrt{x^{2} - 10x + 25}&=(5-x)+\sqrt{(x-5)^2}\\&=(5-x)+|x-5|\\\because x≤5，\therefore x-5≤0\\\therefore |x-5|&=5-x\\\therefore 原式&=(5-x)+(5-x)=10-2x\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2 - m}$；(2) $\boldsymbol{10 - 2x}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式的性质，二次根式有意义的条件
【点评】
本题重点考查二次根式的化简运算，核心是掌握$\sqrt{a^2}=|a|$这一二次根式性质以及完全平方公式的应用，同时要注意根据已知条件或二次根式有意义的条件判断绝对值内式子的正负，正确去掉绝对值符号，解题过程需细心严谨。
【难度系数】
0.6
上一页 下一页