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解：由②，得$b=2a-1$．③
把③代入①，得$3a+2(2a-1)=5$．
去括号，得$3a+4a-2=5$．
移项、合并同类项，得$7a=7$．
系数化为1，得$a=1$．
把$a=1$代入③，得$b=2\times1-1=1$．
所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} a=1\\ b=1\end{array}\right.$
解：把①代入②，得$2x-3(1+x)=-4$．
去括号，得$2x-3-3x=-4$．
移项、合并同类项，得$-x=-1$．
系数化为1，得$x=1$．
把$x=1$代入①，得$y=1+1=2$．
所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=2\end{array}\right.$
解：由①，得$y=\frac{5x-3}{2}$．③
把③代入②，得$3x-4\times\frac{5x-3}{2}=-1$．
化简，得$3x-2(5x-3)=-1$．
去括号，得$3x-10x+6=-1$．
移项、合并同类项，得$-7x=-7$．
系数化为1，得$x=1$．
把$x=1$代入③，得$y=\frac{5\times1-3}{2}=1$．
所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=1\end{array}\right.$
解：设$a=\frac{x+3}{2}，$$b=\frac{y+5}{3}，$则原方程组可化为$\left\{\begin{array}{l} a+b=7\\ a+\frac{b}{2}=5\end{array}\right.$．
由第一个方程得$a=7-b$．③
把③代入第二个方程，得$7-b+\frac{b}{2}=5$．
移项、合并同类项，得$-\frac{b}{2}=-2$．
系数化为1，得$b=4$．
把$b=4$代入③，得$a=7-4=3$．
所以$\frac{x+3}{2}=3，$解得$x=3；$$\frac{y+5}{3}=4，$解得$y=7$．
所以原方程组的解是$\left\{\begin{array}{l} x=3\\ y=7\end{array}\right.$
解：把$\left\{\begin{array}{l} x=1\\ y=-1\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l} x=2\\ y=3\end{array}\right.$分别代入$y=kx+b，$得
$\left\{\begin{array}{l} k+b=-1\\ 2k+b=3\end{array}\right.$．
②$-$①，得$k=4$．
把$k=4$代入①，得$4+b=-1，$解得$b=-5$．
所以$k=4，$$b=-5$
解：设每个笔袋的价格是​$x$​元，每支钢笔的价格是​$y$​元
由题意，得​${{\begin {cases} { {15x+5y=225①}} \\{3x+y=43②} \end {cases}}}$​
​$①÷5，$​得​$3x+y=45③$​
②与③是相矛盾的，则第二天的记录有误
又由题意，得​${{\begin {cases} { {15x+5y=225①}} \\{3x+2y=44②} \end {cases}}}$​
​$①÷5，$​得
​$3x+y=45③$​
②-③，得
​$y=-1$​
​$y$​不可能为负值，则第三天的记录也有误.
【分析】
观察方程组发现两个方程中都含有$\frac{x+3}{2}$，且$\frac{y+5}{3}$是$\frac{y+5}{6}$的2倍，因此可以采用换元法，设$a=\frac{x+3}{2}$，$b=\frac{y+5}{6}$，将原方程组转化为关于$a$、$b$的简单二元一次方程组，再用代入消元法先求出$a$、$b$的值，最后反代回换元式求出$x$、$y$的值，这样能避免直接去分母的复杂计算，简化解题步骤。
【解析】
设$a = \dfrac{x + 3}{2}$，$b = \dfrac{y + 5}{6}$，则原方程组可转化为：
$\begin{cases}a + 2b = 7, \\a + b = 5.\end{cases}$
由第二个方程$a + b = 5$，移项得：$a = 5 - b$
将$a = 5 - b$代入第一个方程$a + 2b = 7$中，得：
$5 - b + 2b = 7$
合并同类项：$5 + b = 7$
解得：$b = 2$
把$b = 2$代入$a = 5 - b$，得：
$a = 5 - 2 = 3$
由$a = \dfrac{x + 3}{2} = 3$，两边同乘2得：$x + 3 = 6$，解得$x = 3$
由$b = \dfrac{y + 5}{6} = 2$，两边同乘6得：$y + 5 = 12$，解得$y = 7$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3, \\ y = 7.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x = 3, \\ y = 7.\end{cases}$
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组，换元法简化方程组
【点评】
本题通过换元法将复杂的二元一次方程组转化为简单的二元一次方程组，再用代入消元法求解，体现了转化的数学思想，有效降低了解题难度，当方程组中存在重复出现的代数式时，换元法是优化解题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先，根据方程解的定义，若一组$x$、$y$的值是方程$y=kx+b$的解，将其代入方程后等式必然成立。因此我们可以把题目给出的两组解分别代入方程$y=kx+b$，得到两个关于$k$和$b$的一元一次方程，再将这两个方程联立成二元一次方程组，最后通过加减消元法解这个方程组，即可求出$k$和$b$的值。
【解析】
1. 代入方程构建方程组：
将$\begin{cases}x = 1, \\ y = -1\end{cases}$代入$y = kx + b$，可得：
$-1 = k + b$ ①
将$\begin{cases}x = 2, \\ y = 3\end{cases}$代入$y = kx + b$，可得：
$3 = 2k + b$ ②
2. 解二元一次方程组：
用② - ①，得：
$(2k + b) - (k + b) = 3 - (-1)$
化简计算：$k = 4$
把$k = 4$代入①式，得：
$4 + b = -1$
解得：$b = -5$
【答案】
$k = 4$，$b = -5$
【知识点】
1. 一次方程的解的定义
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题核心考查方程解的定义与二元一次方程组的求解，解题关键是利用方程解的定义构建关于$k$、$b$的方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是顺利解题的基础。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先根据第一天正确的记录，设出笔袋和钢笔的单价，列出二元一次方程，再利用等式基本性质化简该方程。接着分别将第二天、第三天的记录转化为对应方程：对于第二天的记录，直接对比化简后的方程，判断是否矛盾；对于第三天的记录，通过代入化简后的方程求解单价，看结果是否符合实际，以此说明记录是否有误。
【解析】
设每个笔袋的价格为$x$元，每支钢笔的价格为$y$元。
根据第一天的记录，得$15x + 5y = 225$，根据等式基本性质，两边同时除以5，化简得$3x + y = 45$。
1. 验证第二天记录：
第二天记录对应的方程为$3x + y = 43$，但由第一天正确记录化简得到$3x + y = 45$，同一个代数式$3x + y$不可能同时等于45和43，二者矛盾，因此第二天的记录有误。
2. 验证第三天记录：
第三天记录对应的方程为$3x + 2y = 44$，由$3x + y = 45$得$3x = 45 - y$，将其代入$3x + 2y = 44$，得$45 - y + 2y = 44$，即$45 + y = 44$，解得$y = -1$。
因为钢笔的单价不能为负数，不符合实际情况，所以第三天的记录有误。
综上，第二天和第三天的记录有误。
【答案】
通过二元一次方程组及等式基本性质的推导，可说明第二天和第三天的记录有误。
【知识点】
二元一次方程组的应用、等式的基本性质
【点评】
本题考查二元一次方程组的实际应用与等式基本性质的运用，解题核心是借助第一天正确记录建立基准方程，通过对比、代入验证后续记录的合理性，锻炼逻辑推理与实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
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