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(1)$\frac{1}{2}x - 3 > 2;$(2)$4x + 3 \leq 0;$(3)$2a - 4 > 0;$(4)$\frac{1}{2}(b + c) \geq 0;$(5)$x + 17 < 5x$
解:$m \geq 300 \times 0.6\%$
解: $m > 2n$
解: $30a + 20b > 50 \times \frac{a + b}{2}$
例如:小红买了x个苹果和y个梨,每个水果价格为1元,她带的钱不超过5元,则$x + y \leq 5$
例如:某数x的2倍与1的和大于3,即$2x + 1 > 3$
2.3
2.6
2.9
3.2
3.5
解:​$(1)0.5+0.06x>3$​
​$(3)0.5+0.06x>3$​
解得,​$x>\frac {125}3$​
所以该竹篮内最少装了​$42$​枚鸡蛋
【分析】
解决这类问题,我们需要先理清每个小题中的数量运算关系,明确运算顺序,再抓住题目里表示不等关系的关键词(如“大于”“小于或等于”“正数”“非负数”等),将其对应替换为正确的不等号,最终写出不等式。具体思路如下:
(1) 先表示出“$x$的$\frac{1}{2}$”,再求其与3的差,最后根据“大于2”确定不等号;
(2) 先表示“$4x$与3的和”,再根据“小于或等于零”确定不等号;
(3) 先表示“$a$的2倍”,再求其与4的差,“正数”意味着结果大于0;
(4) 先求“$b$与$c$的和”,再取其$\frac{1}{2}$,“非负数”是指大于或等于0;
(5) 分别表示“$x$与17的和”和“$x$的5倍”,根据“比...小”确定不等号。
【解析】
(1) 先写出“$x$的$\frac{1}{2}$”为$\frac{1}{2}x$,再表示“与3的差”为$\frac{1}{2}x - 3$,结合“大于2”,得到不等式:$\frac{1}{2}x - 3 > 2$;
(2) 表示“$4x$与3的和”为$4x + 3$,根据“小于或等于零”,得到不等式:$4x + 3 ≤ 0$;
(3) 写出“$a$的2倍”为$2a$,再表示“与4的差”为$2a - 4$,“正数”即大于0,得到不等式:$2a - 4 > 0$;
(4) 先求“$b$与$c$的和”为$b + c$,再表示“和的$\frac{1}{2}$”为$\frac{1}{2}(b + c)$,“非负数”即大于或等于0,得到不等式:$\frac{1}{2}(b + c) ≥ 0$;
(5) 分别表示“$x$与17的和”为$x + 17$,“$x$的5倍”为$5x$,根据“比$x$的5倍小”,得到不等式:$x + 17 < 5x$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x - 3 > 2$
(2) $4x + 3 ≤ 0$
(3) $2a - 4 > 0$
(4) $\frac{1}{2}(b + c) ≥ 0$
(5) $x + 17 < 5x$
【知识点】
列一元一次不等式、不等关系转化
【点评】
本题重点考查文字语言到不等式的转化能力,核心是准确识别运算顺序和不等关系关键词,正确匹配对应的不等号,同时注意运算的先后顺序(如和的几分之几需添加括号),属于基础题型,能帮助学生夯实不等式的概念理解。
【难度系数】
0.9
【分析】
1. 对于(1),“不低于”表示大于等于,先计算出净重300g的0.6%,再让蛋白质含量m大于等于该数值即可列出不等式;
2. 对于(2),“比八年级的2倍还要多”意味着七年级人数m大于八年级人数n的2倍,直接根据此数量关系列不等式;
3. 对于(3),亏本即总成本大于总销售额,先分别计算A、B两种糖果的总成本和混合后的总销售额,再根据“成本>销售额”列出不等式。
【解析】
(1) 净重的0.6%为$300×0.6\%$,由于蛋白质含量$m$不低于净重的0.6%,因此可得不等式:
$m ≥ 300 × 0.6\%$,化简得$m ≥ 1.8$;
(2) 八年级学生人数的2倍为$2n$,结合“七年级学生人数比八年级的2倍还要多”,可得不等式:
$m > 2n$;
(3) A、B两种糖果的总成本为$30a + 20b$元,混合后总重量为$30+20=50\mathrm{kg}$,总销售额为$\frac{a + b}{2}×50$元,因为亏本,即总成本大于总销售额,所以不等式为:
$30a + 20b > \frac{a + b}{2} × (30 + 20)$(或化简为$30a + 20b > 25a + 25b$)。
【答案】
(1) $m ≥ 1.8$(或$m ≥ 300 × 0.6\%$);
(2) $m > 2n$;
(3) $30a + 20b > \frac{a + b}{2} × (30 + 20)$(或$30a + 20b > 25a + 25b$)。
【知识点】
列不等式表示数量关系、实际问题与不等式
【点评】
本题重点考查将实际问题中的文字描述转化为数学不等式的能力,需准确把握“不低于”“比…多”“亏本”等关键词对应的不等关系,培养从实际情境中抽象出数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
【分析】
设计不等式的实际背景,核心是先拆解不等式的数量关系与不等关系,再结合生活中常见场景(如购物、物品数量、几何图形量等),将代数式转化为实际的量,匹配对应的不等关系:
1. 对于$x + y ≤ 5$,左边是两个变量的和,不等关系为“不超过5”,可从购物总花费、图形的长加宽之和、两种物品总数等角度构建场景;
2. 对于$2x + 1 > 3$,左边是$x$的2倍与1的和,不等关系为“大于3”,可从数的运算、物品数量比较、生活中的数量对比等角度构建场景。
【解析】
(1) 背景1:小明购买单价为1元的铅笔$x$支和单价为1元的橡皮$y$块,总花费不超过5元。
背景2:一个长方形的长为$x$,宽为$y$,其长与宽的和(即周长的一半)不超过5。
(2) 背景1:某数$x$的2倍与1的和大于3。
背景2:小明有$x$个苹果,小红的苹果数比小明的2倍还多1个,小红的苹果数大于3。
【答案】
(1) 示例1:小明购买单价1元的铅笔$x$支和单价1元的橡皮$y$块,总花费不超过5元;示例2:长方形的长为$x$,宽为$y$,其长与宽的和不超过5。
(2) 示例1:某数$x$的2倍与1的和大于3;示例2:小明有$x$个苹果,小红的苹果数比小明的2倍还多1个,小红的苹果数大于3。
【知识点】
不等式的实际建模、生活中的不等式应用
【点评】
本题考查不等式与实际生活的联系,答案不唯一,只要构建的场景符合不等式的数量逻辑即可,能帮助学生理解不等式的实际意义,提升数学建模能力。
【难度系数】
0.8
【分析】
1. 第(1)问:明确总质量由竹篮质量和鸡蛋总质量组成,“总质量超过3kg”意味着总质量大于3kg,据此可列出关于鸡蛋数量$x$的不等式。
2. 第(2)问:根据“总质量=竹篮质量+鸡蛋总质量”的公式,将不同的鸡蛋数量代入公式,计算对应总质量即可。
3. 第(3)问:先解第(1)问得到的不等式,求出$x$的取值范围,再结合鸡蛋数量为正整数的实际情况,确定最小的整数解。
【解析】
(1) 设竹篮装了$x$枚鸡蛋,竹篮质量为$0.5\mathrm{kg}$,$x$枚鸡蛋的质量为$0.06x\mathrm{kg}$,由总质量超过$3\mathrm{kg}$,可得$x$满足的关系:
$0.5 + 0.06x > 3$
(2) 代入鸡蛋数量计算总质量:
当$x=30$时,总质量$=0.5 + 0.06×30 = 2.3(\mathrm{kg})$
当$x=35$时,总质量$=0.5 + 0.06×35 = 2.6(\mathrm{kg})$
当$x=40$时,总质量$=0.5 + 0.06×40 = 2.9(\mathrm{kg})$
当$x=45$时,总质量$=0.5 + 0.06×45 = 3.2(\mathrm{kg})$
当$x=50$时,总质量$=0.5 + 0.06×50 = 3.5(\mathrm{kg})$
填写表格如下:
| 鸡蛋数量 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总质量/kg | 2.3 | 2.6 | 2.9 | 3.2 | 3.5 |
(3) 解不等式$0.5 + 0.06x > 3$:
移项得:$0.06x > 3 - 0.5$,即$0.06x > 2.5$
两边除以$0.06$得:$x > \frac{2.5}{0.06} \approx 41.67$
因为鸡蛋数量为正整数,所以$x$的最小值为42,即竹篮至少装了42枚鸡蛋。
【答案】
(1) $0.5 + 0.06x > 3$;
(2) 2.3、2.6、2.9、3.2、3.5;
(3) 42枚。
【知识点】
一元一次不等式的应用、代数式求值
【点评】
本题结合实际场景,考查了不等关系的建立与一元一次不等式的求解,同时涉及代数式的计算。解题关键是准确将“超过”转化为不等号,并且注意鸡蛋数量为正整数的实际限制,培养将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8