第89页

信息发布者：
解：一定成立。理由：因为$a ＞ b ＞ 0，$所以$a - b ＞ 0，$$a + b ＞ 0，$
则$a^2 - b^2=(a - b)(a + b) ＞ 0，$即$a^2 ＞ b^2$
D
√
√
√
√
×
＞
＞
＞
＜
＜
＞
解：不等式基本性质1：不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变
解： 不等式基本性质2：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变
解：文字语言：①等式两边同时加上(或减去)同一个数或式子，等式仍成立；
②等式两边同时乘(或除以)同一个不为零的数或式子，等式仍成立。
符号语言：​①​若​a=b，​则​a+c=b+c；​​②​若​a=b，​则​ac=bc，​其中​c≠0​
不等式的性质：①不等式两边同时加上(或减去)同一个数或式子，不等号的方向不改变；
如​2＞1，​则​2+b＞1+b​
②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
如​2＞1，​则​2×2＞1×2​
③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
如​2＞1，​则​2×(−1)＜1×(−1)​
【分析】
要判断当$a＞b＞0$时$a^2＞b^2$是否成立，可采用作差比较法。首先明确比较两个数大小的核心思路：通过判断两数之差的正负来确定大小关系。已知$a＞b＞0$，可先得出$a+b＞0$、$a-b＞0$，再利用平方差公式将$a^2 - b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，结合两个正数相乘结果为正的性质，就能推出$a^2 - b^2＞0$，进而得到$a^2＞b^2$。
【解析】
一定成立，理由如下：
因为$a ＞ b ＞ 0$，
所以$a + b ＞ 0$，$a - b ＞ 0$，
根据平方差公式可得$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，
由于两个正数的乘积为正数，因此$(a + b)(a - b)＞0$，
即$a^{2}＞b^{2}$。
【答案】
一定成立，理由见解析。
【知识点】
作差比较法、平方差公式、不等式性质
【点评】
本题考查不等式性质与平方差公式的综合应用，作差比较法是比较代数式大小的经典方法，通过对差式因式分解，结合已知条件判断差的正负，逻辑清晰，能帮助学生巩固基础的代数比较思路。
【难度系数】
0.8
本题可根据不等式的基本性质，逐一分析选项。
选项A：根据不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
在不等式$m＞ n$两边同时加$1$，可得$m + 1＞ n + 1$，该选项正确。
选项B：同样根据不等式的基本性质1，在不等式$m＞ n$两边同时减$3$，可得$m - 3＞ n - 3$，该选项正确。
选项C：根据不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
在不等式$m＞ n$两边同时乘$2$，因为$2$是正数，所以可得$2m＞ 2n$，该选项正确。
选项D：根据不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
在不等式$m＞ n$两边同时乘$-1$，因为$-1$是负数，所以可得$-m＜ -n$，而不是$-m＞ -n$，该选项不正确。
(1) 根据不等式的对称性，若 $a ＞ b$，则必然有 $b ＜ a$。所以此题判断为正确。
(2) 已知 $a ＞ b$，根据不等式的定义，可以直接得出 $a - b ＞ 0$。所以此题判断为正确。
(3) 已知 $a - b ≤ 0$，移项可得 $a ≤ b$。所以此题判断为正确。
(4) 已知 $a ＞ b$ 且 $b ＞ c$，根据不等式的传递性，可以得出 $a ＞ c$。所以此题判断为正确。
(5) 对于 $a ＞ b$，不能直接得出 $a^{2} ＞ b^{2}$。例如，当 $a = 1$，$b = -2$ 时，虽然 $a ＞ b$，但 $a^{2} = 1 ＜ 4 = b^{2}$。所以此题判断为错误。
(1) 因为 $a ＞ b$，根据不等式基本性质1，两边同时减去2，不等号方向不变，所以 $a - 2 ＞ b - 2$；
(2) 因为 $a ＞ b$，根据不等式基本性质2，两边同时乘以2（正数），不等号方向不变，所以 $2a ＞ 2b$；
(3) 因为 $a ＞ b$，根据不等式基本性质2，两边同时除以2（正数），不等号方向不变，所以 $\dfrac{a}{2} ＞ \dfrac{b}{2}$；
(4) 因为 $a ＞ b$，根据不等式基本性质3，两边同时乘以$-\dfrac{2}{5}$（负数），不等号方向改变，所以 $-\dfrac{2}{5}a ＜ -\dfrac{2}{5}b$；
(5) 因为 $a ＞ b$，根据不等式基本性质3，两边同时乘以$-6$（负数），不等号方向改变，所以 $-6a ＜ -6b$；
(6) 因为 $c ≠ 0$，所以 $c^2 ＞ 0$，又因为 $a ＞ b$，根据不等式基本性质2，两边同时乘以正数$c^2$，不等号方向不变，所以 $ac^2 ＞ bc^2$。
【分析】
要解决这类问题，首先需要回忆不等式的三个基本性质，再观察每个不等式的变形操作：
1. 对于（1），从$x - 1 ＜ 2$到$x ＜ 3$，是给不等式两边同时加1，需判断对应哪条不等式性质；
2. 对于（2），从$3x ＞ -6$到$x ＞ -2$，是给不等式两边同时除以正数3，匹配对应的性质；
3. 对于（3），从$-\dfrac{1}{2}x ＞ -1$到$x ＜ 2$，是给不等式两边同时乘以负数-2且不等号方向改变，对应相应性质。
【解析】
（1）依据不等式的基本性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
在$x - 1 ＜ 2$两边同时加1，可得$x - 1 + 1 ＜ 2 + 1$，即$x ＜ 3$。
（2）依据不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
在$3x ＞ -6$两边同时除以3，可得$\dfrac{3x}{3} ＞ \dfrac{-6}{3}$，即$x ＞ -2$。
（3）依据不等式的基本性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
在$-\dfrac{1}{2}x ＞ -1$两边同时乘以-2，可得$(-\dfrac{1}{2}x)×(-2) ＜ (-1)×(-2)$，即$x ＜ 2$。
【答案】
（1）不等式的基本性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的基本性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题主要考查对不等式基本性质的理解与应用，解题关键是准确识别不等式变形时的操作（加/减/乘/除的数的正负），进而匹配对应的性质，尤其要注意乘除负数时不等号方向需改变。
【难度系数】
0.9
上一页 下一页