【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是“分别求解，再找公共”：
1. 对于每个不等式组，先独立解出组内每一个一元一次不等式的解集；
2. 再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”的口诀，确定两个解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
具体到每个小题：
(1) 先分别解出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分；
(2) 先把两个不等式各自化简求解，再找公共解集；
(3) 注意第二个不等式是分数形式，需要先去分母再求解，之后结合第一个不等式的解集确定公共部分；
(4) 第一个不等式有分母，先去分母化简，第二个不等式去括号时注意符号变化，再分别求解后找公共解集。
【解析】
(1) $\begin{cases}3x - 1＞ 2x + 1①,\\2x＞ 8②.\end{cases}$
解不等式$①$：
移项得$3x - 2x＞ 1 + 1$，
合并同类项得$x＞ 2$。
解不等式$②$：
系数化为1得$x＞ 4$。
根据“同大取大”，不等式组的解集为$x＞ 4$。
(2) $\begin{cases}5x - 2＞ 3(x + 1)①,\frac{1}{2}x - 1≥7 - \frac{3}{2}x②.\end{cases}$
解不等式$①$：
去括号得$5x - 2＞ 3x + 3$，
移项得$5x - 3x＞ 3 + 2$，
合并同类项得$2x＞ 5$，
系数化为1得$x＞ \frac{5}{2}$。
解不等式$②$：
移项得$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x≥ 7 + 1$，
合并同类项得$2x≥ 8$，
系数化为1得$x≥ 4$。
根据“同大取大”，不等式组的解集为$x≥ 4$。
(3) $\begin{cases}5 + 2x≥ 3①,\\ \frac{x + 1}{3}＞ \frac{x}{2}②.\end{cases}$
解不等式$①$：
移项得$2x≥ 3 - 5$，
合并同类项得$2x≥ -2$，
系数化为1得$x≥ -1$。
解不等式$②$：
两边同乘6去分母得$2(x + 1)＞ 3x$，
去括号得$2x + 2＞ 3x$，
移项得$2＞ 3x - 2x$，
合并同类项得$x＜ 2$。
根据“大小小大中间找”，不等式组的解集为$-1≤ x＜ 2$。
(4) $\begin{cases}\frac{x - 3}{2} + 3≥ x + 1①,\\1 - 3(x - 1)＜ 8 - x②.\end{cases}$
解不等式$①$：
两边同乘2去分母得$x - 3 + 6≥ 2x + 2$，
合并同类项得$x + 3≥ 2x + 2$，
移项得$3 - 2≥ 2x - x$，
合并同类项得$x≤ 1$。
解不等式$②$：
去括号得$1 - 3x + 3＜ 8 - x$，
合并同类项得$-3x + 4＜ 8 - x$，
移项得$-3x + x＜ 8 - 4$，
合并同类项得$-2x＜ 4$，
系数化为1得$x＞ -2$。
根据“大小小大中间找”，不等式组的解集为$-2＜ x≤ 1$。
【答案】
(1) $x＞ 4$；
(2) $x≥ 4$；
(3) $-1≤ x＜ 2$；
(4) $-2＜ x≤ 1$。
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法；
2. 一元一次不等式组的解法；
3. 不等式组解集的确定。
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础求解题，重点考查解一元一次不等式的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），以及利用口诀确定不等式组解集的能力，解题时需注意去分母、去括号时的符号变化，以及系数化为1时不等号方向的变化情况。
【难度系数】
0.8
