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①
②
解：解不等式①：​$x-1≤2$​
解得​$x≤3$​
解不等式②得：​$3(5x+1)+6＞2(2x-1)$​
​$15x+3+6＞4x-2$​
解得​$x＞-1$​
∴不等式组的解集为​$-1＜x≤3$​
∴它的整数解为​$x=0，$​​$1，$​​$2，$​​$3$​
证明：​$(2)$​连接​$AO，$​延长交​$BC$​于​$P$​
∵​$MN⊥AB，$​​$OH⊥AC$​且​$MN$​平分​$AB，$​​$OH$​平分​$AC$​
∴​$OB=OA=OC$​
∴​$∠1=∠2，$​​$∠3=∠4$​
∵​$∠5=∠1+∠2，$​​$∠6=∠3+∠4$​
∴​$∠5+∠6=∠1+∠2+∠3+∠4=2(∠2+∠3)$​
∴​$∠BOC=2∠A$​

解：​$(1)$​因为​$∠ABC=∠ADE，$​
所以​$ DE//BC.$​
所以​$∠DEB=∠EBC.$​
又​$∠DEB=∠GFC，$​
所以​$∠EBC=∠GFC.$​
所以​$BE//GF.$​
​$(2)$​由​$(1)，$​得​$ DE//BC，$​​$∠EBC=∠GFC，$​
所以​$∠BDE+∠ABC=180°.$​
又​$∠BDE=110°，$​
所以​$∠ABC=180°-∠BDE=70°.$​
因为​$BE$​平分​$∠ABC，$​
所以​$∠EBC=\frac {1}{2}∠ABC=35°.$​
所以​$∠GFC=35°.$​
因为​$∠C+∠GFC+∠CGF=180°，$​​$∠C=50°，$​
所以​$∠CGF=180°-∠C-∠GFC=95°.$​
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