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解：设两个连续奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（$n$为整数），则它们的平方差为$(2n+1)^2-(2n-1)^2。$
展开可得：$\begin{aligned}(2n+1)^2-(2n-1)^2&=(4n^2+4n+1)-(4n^2-4n+1)\\&=4n^2+4n+1-4n^2+4n-1\\&=8n\end{aligned}$

因为$8n$是$8$的倍数，所以两个连续奇数的平方差是$8$的倍数。
证明:∵​$AB//CD$​
∴​$∠A=∠DGE$​
∵​$∠A=∠C$​
∴​$∠C=∠DGE$​
∴​$AE//CF$​
110
70
垂直的定义
EG
同位角相等，两直线平行
$\angle BAD$
两直线平行，内错角相等
$\angle CAD$
两直线平行，同位角相等
2
3
等量代换
【分析】
要证明两个连续奇数的平方差是8的倍数，首先需用代数式准确表示两个连续奇数。由于奇数可表示为$2n\pm1$（$n$为整数），且连续奇数相差2，因此可设较小的奇数为$2n-1$，较大的为$2n+1$（$n$为整数）。接下来计算两数的平方差，利用平方差公式简化运算，最后判断化简结果是否为8的整数倍即可。
【解析】
证明：设两个连续奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（$n$为整数）。
$\begin{aligned}&(2n+1)^2 - (2n-1)^2\\=&[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]\\=&(4n)(2)\\=&8n\end{aligned}$
因为$n$为整数，所以$8n$是$8$的倍数。
因此，两个连续奇数的平方差是$8$的倍数。
【答案】
两个连续奇数的平方差是$8$的倍数
【知识点】
平方差公式、奇数的代数表示、倍数的判定
【点评】
本题考查代数表示与平方差公式的综合应用，解题关键是正确用含整数$n$的代数式表示连续奇数，通过公式简化运算将问题转化为整数倍数的判定，属于基础证明题型，侧重对代数推理能力的考查。
【难度系数】
0.8
【分析】
要证明$AE//CF$，可根据平行线的判定定理，通过证明内错角相等来推导。首先利用$AB//CD$的平行线性质得到角的等量关系，再结合已知$∠A=∠C$，通过等量代换得到能判定$AE//CF$的内错角相等，进而完成证明。
【解析】
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A = ∠ AGC$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ A = ∠ C$，
$\therefore ∠ AGC = ∠ C$（等量代换）。
$\therefore AE// CF$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
$AE// CF$得证。
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，等量代换
【点评】
本题考查平行线的性质与判定的综合运用，解题关键是借助平行线的性质建立角的等量关系，再结合已知条件通过等量代换得到判定平行的角的关系，需熟练掌握平行线的相关定理。
【难度系数】
0.8
因为 $a // b$，$∠1 = 110^{\circ}$，所以 $∠1$ 与 $∠2$ 是同位角，根据两直线平行，同位角相等，可得 $∠2 = ∠1 = 110^{\circ}$；$∠2$ 与 $∠3$ 是邻补角，所以 $∠3 = 180^{\circ} - ∠2 = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$。
【分析】
要证明AD为∠BAC的平分线，需证∠2=∠3。首先根据AD⊥BC，EG⊥BC，利用垂直的定义得到∠ADC=∠EGC=90°，由此可判定AD与EG平行；再根据平行线的性质得到∠1=∠2、∠E=∠3，结合已知∠1=∠E，通过等量代换即可得到∠2=∠3，进而证明AD是∠BAC的平分线。
【解析】
证明：$\because AD⊥ BC$，$EG⊥ BC$（已知），
$\therefore ∠ ADC=∠ EGC = 90°$（垂直的定义）。
$\therefore AD//\boldsymbol{EG}$（同位角相等，两直线平行）。
$\therefore ∠ 1=\boldsymbol{∠2}$(两直线平行，内错角相等)，
$∠ E=\boldsymbol{∠3}$(两直线平行，同位角相等)。
又 $\because ∠ 1=∠ E$（已知），
$\therefore ∠\boldsymbol{2}=∠\boldsymbol{3}$（等量代换），
即 $AD$ 为 $∠ BAC$ 的平分线。
【答案】
垂直的定义；$EG$；同位角相等，两直线平行；$∠2$；两直线平行，内错角相等；$∠3$；两直线平行，同位角相等；$2$；$3$；等量代换
【知识点】
垂直的定义，平行线判定，平行线性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质及垂直定义的综合应用，解题关键是利用垂直关系判定平行线，再借助平行线的性质建立角的等量关系，最终完成角平分线的证明，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
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