第114页 - 学习与评价七年级数学苏科版江苏凤凰教育出版社

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解：∵$∠A=50°，$$∠C=30°($已知$)$

∴$∠BDO=∠A+∠C=80°($三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和)

∵$∠B+∠DOB+∠BDO=180°($三角形三个内角的和等于$180°)$

∴$∠B=180°-(∠DOB+∠BDO)=180°-(70°+80°)=30°$

证明：∵$BP，$$CP_{分别是}∠ABC，$$∠ACD$的平分线

∴$ ∠PBC=\frac 1 2∠ABC，$$∠PCD=\frac 1 2∠ACD$

∵$∠ACD=∠A+∠ABC，$$∠PCD=∠PBC+∠P$

∴$∠A=∠ACD-∠ABC，$$∠P=∠PCD-∠PBC$

∴$ ∠P=\frac 1 2∠ACD-\frac 1 2∠ABC=\frac 1 2(∠ACD-∠ABC)=\frac 1 2∠A$

 解：由折叠性质知，折叠后形成的角与$\angle \beta$相等，设折叠前该角为$\angle \beta，$则$2\angle \beta + \angle \alpha = 180^\circ$（平角定义）。因为$\angle \alpha = 80^\circ，$所以$2\angle \beta = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ，$解得$\angle \beta = 50^\circ。$

 解：在四边形$ABCD$中，$\angle ABC + \angle BCD = 360^\circ - \angle A - \angle D$（四边形内角和为$360^\circ$）。因为$BP$平分$\angle ABC，$$CP$平分$\angle BCD，$所以$\angle PBC = \frac{1}{2}\angle ABC，$$\angle PCB = \frac{1}{2}\angle BCD。$在$\triangle PBC$中，$\angle P = 180^\circ - (\angle PBC + \angle PCB) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCD) = 180^\circ - \frac{1}{2}(360^\circ - \angle A - \angle D) = \frac{1}{2}(\angle A + \angle D)。$故$\angle P = \frac{1}{2}(\angle A + \angle D)。$

(1) 三角形内角和为180°，∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°；由∠A-∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°，得∠A=90°，故为直角三角形。
(2) 顶角=180°-2×80°=20°；80°为顶角时，底角=(180°-80°)/2=50°；80°为底角时，顶角=180°-2×80°=20°，故其他两角为50°，50°或80°，20°。
(3) 五边形内角和=(5-2)×180°=540°。
(4) 根据三角形外角性质，∠3是外角大于∠2，∠2是外角大于∠1，故∠3＞∠2＞∠1。
(5) ∠1为三角形外角=45°+75°=120°；∠2所在三角形中，另一角为80°(对顶角)，∠2=80°-45°=35°。
(6) ∠α+∠β=180°+45°=225°(三角形外角和性质)。

【分析】
要计算∠B的度数，观察图形可知∠B在△BDO中，已知∠BOD=70°，根据三角形内角和定理，只要求出∠BDO的度数即可。而∠BDO与∠ADC是邻补角，所以先在△ADC中，利用三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再通过邻补角的性质得到∠BDO的度数，最后在△BDO中计算∠B的度数。
【解析】
1. 在△ADC中，根据三角形内角和定理（三角形内角和为180°）：
∠ADC = 180° - ∠A - ∠C
已知∠A = 50°，∠C = 30°，代入得：
∠ADC = 180° - 50° - 30° = 100°
2. 因为∠BDO与∠ADC是邻补角（邻补角和为180°），所以：
∠BDO = 180° - ∠ADC = 180° - 100° = 80°
3. 在△BDO中，根据三角形内角和定理：
∠B = 180° - ∠BDO - ∠BOD
已知∠BOD = 70°，∠BDO = 80°，代入得：
∠B = 180° - 80° - 70° = 30°
【答案】
∠B的度数为30°
【知识点】
三角形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题考查三角形内角和定理与邻补角性质的综合应用，解题关键是通过角的转化，将未知角与已知角建立联系，属于基础几何题，有助于巩固学生对基础角的性质的理解与运用。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明∠P = $\frac{1}{2}$∠A，首先结合已知的角平分线条件，想到利用角平分线定义将∠PBC、∠PCD转化为$\frac{1}{2}$∠ABC、$\frac{1}{2}$∠ACD；再观察图形中的外角，利用三角形外角性质，分别建立∠ACD与∠A、∠ABC的关系，∠PCD与∠P、∠PBC的关系；最后通过等量代换和等式化简，消去中间角，即可推导出∠P与∠A的数量关系。
【解析】
已知：在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，P为两平分线交点。
求证：∠P = $\frac{1}{2}$∠A。
证明：
1.
∵BP平分∠ABC（已知），

∴∠PBC = $\frac{1}{2}$∠ABC（角平分线的定义）。
2.
∵CP平分∠ACD（已知），

∴∠PCD = $\frac{1}{2}$∠ACD（角平分线的定义）。
3.
∵∠ACD是△ABC的外角（外角的定义），

∴∠ACD = ∠A + ∠ABC（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
4.
∵∠PCD是△PBC的外角（外角的定义），

∴∠PCD = ∠P + ∠PBC（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
5. 将步骤2的结论代入步骤4，得：$\frac{1}{2}$∠ACD = ∠P + ∠PBC。
6. 将步骤1和步骤3的结论代入上式，得：$\frac{1}{2}$(∠A + ∠ABC) = ∠P + $\frac{1}{2}$∠ABC。
7. 展开左边：$\frac{1}{2}$∠A + $\frac{1}{2}$∠ABC = ∠P + $\frac{1}{2}$∠ABC。
8. 两边同时减去$\frac{1}{2}$∠ABC，得：∠P = $\frac{1}{2}$∠A。
【答案】
∠P = $\frac{1}{2}$∠A得证。
【知识点】
1. 角平分线定义
2. 三角形外角性质
【点评】
本题是角平分线与三角形外角性质的综合应用题型，解题核心是通过外角性质搭建角之间的联系，再结合角平分线定义进行代换化简。这类角度推导题需要熟练掌握基础几何性质，学会从已知条件出发逐步推导目标结论，是几何证明中的典型基础题型。
【难度系数】
0.6

解：由折叠性质得，折叠后形成的两个角相等，设为∠β。
因为长方形纸条上下两边平行，所以∠α与两个∠β的和为180°（同旁内角互补）。
即∠α + 2∠β = 180°。
已知∠α = 80°，则 80° + 2∠β = 180°，
解得 2∠β = 100°，∠β = 50°。

【分析】
要探究∠P与∠A、∠D的数量关系，我们可以从角平分线的定义、三角形内角和定理以及四边形内角和定理入手。首先利用角平分线的性质，将∠PBC和∠PCB用∠ABC、∠BCD的一半表示，再在△PBC中用三角形内角和表示出∠P；接着结合四边形内角和为360°，把∠ABC+∠BCD用∠A和∠D表示，最后代入化简就能得到∠P与∠A、∠D的数量关系。
【解析】
已知在四边形$ABCD$中，$BP$、$CP$分别平分$∠ABC$、$∠BCD$。
设$∠ABC=2x$，$∠BCD=2y$。
根据角平分线的定义，可得$∠PBC=x$，$∠PCB=y$。
在$△ PBC$中，由三角形内角和定理可得：
$∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(x+y)$。
因为四边形内角和为$360°$，所以在四边形$ABCD$中：
$∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°$，
将$∠ABC=2x$，$∠BCD=2y$代入上式得：
$∠A+∠D+2x+2y=360°$，
整理得$x+y=\frac{360°-(∠A+∠D)}{2}$。
将$x+y=\frac{360°-(∠A+∠D)}{2}$代入$∠P=180°-(x+y)$中：
$∠P=180°-\frac{360°-(∠A+∠D)}{2}$，
化简得：
$∠P=180°-180°+\frac{∠A+∠D}{2}$，
即$2∠P=∠A+∠D$。
【答案】
$2∠P=∠A+∠D$
【知识点】
四边形内角和定理，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题主要考查角平分线的定义、三角形内角和定理与四边形内角和定理的综合运用，通过设未知数的方式将角的关系进行转化，是几何中探究角度数量关系的常用方法，需要熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.6