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∠E
∠D
∠A
180
解：​$(3)∠AFG=∠C+∠E，$​​$∠AGF=∠B+∠D$​
∴​$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠AFG+∠AGF+∠A=180°$​
∠1 + ∠2 = ∠A + ∠D。
证明：因为∠1是∠B的外角，
所以∠1 = 180° - ∠B；∠2是∠C的外角，
所以∠2 = 180° - ∠C。则∠1 + ∠2 = 360° - (∠B + ∠C)。
又因为四边形内角和为360°，
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
所以∠B + ∠C = 360° - ∠A - ∠D，
故∠1 + ∠2 = ∠A + ∠D。
解:利用密铺的知识我们可以的得到①任意三角形;②正方形;③正六边形都是可以密铺的。
【分析】
1. 对于(1)，观察图①，∠1和∠2是三角形的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可找到∠1对应的不相邻内角是∠C和∠D，∠2对应的不相邻内角是∠B和∠E，据此填空。
2. 对于(2)，利用(1)的结论，将∠B+∠E替换为∠2，∠C+∠D替换为∠1，即可将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E转化为∠A+∠1+∠2，而这三个角是同一个三角形的内角，根据三角形内角和定理可知其和为180°。
3. 对于(3)，观察图②，可利用三角形外角性质，将分散的角转化到同一个三角形中：先将∠A+∠E、∠C+∠D分别转化为△BFG的两个外角，再结合△BFG的内角和为180°，即可求出五个角的和。
【解析】
(1) 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在图①中，∠1是包含∠C、∠D的三角形的外角，因此$\boldsymbol{∠1=∠C+∠D}$；
∠2是包含∠B、∠E的三角形的外角，因此$\boldsymbol{∠2=∠B+∠E}$。
(2) 由(1)的结论可得：$∠ B+∠ E=∠ 2$，$∠ C+∠ D=∠ 1$，
则$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=∠ A+(∠ C+∠ D)+(∠ B+∠ E)=∠ A+∠ 1+∠ 2$，
又因为∠A、∠1、∠2是同一个三角形的三个内角，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，因此$\boldsymbol{∠ A+∠ 1+∠ 2=180°}$。
(3) 如图②，设∠BFG为△AEG的外角，∠BGF为△CDG的外角：
① 根据三角形外角性质，$∠ BFG=∠ A+∠ E$，$∠ BGF=∠ C+∠ D$；
② 在△BFG中，根据三角形内角和定理，$∠ B+∠ BFG+∠ BGF=180°$；
③ 将$∠ BFG=∠ A+∠ E$，$∠ BGF=∠ C+∠ D$代入上式，得：
$∠ B+(∠ A+∠ E)+(∠ C+∠ D)=180°$，
即$\boldsymbol{∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E=180°}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠D}$，$\boldsymbol{∠E}$
(2) $\boldsymbol{∠A}$，$\boldsymbol{180}$
(3) $\boldsymbol{180°}$
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形外角性质与内角和定理的综合应用，解题核心是利用外角性质将分散的角进行转化，集中到同一个三角形中求解，培养了角的转化思想。
【难度系数】
0.6
【分析】
要找出∠1、∠2、∠A、∠D的数量关系，可从四边形内角和定理和邻补角性质入手。先利用四边形内角和表示出∠ABC与∠BCD的和，再结合邻补角的定义将∠1+∠2用∠ABC、∠BCD表示，最后通过代换消去∠ABC、∠BCD，即可得到目标角的数量关系。
【解析】
结论：$\boldsymbol{∠1+∠2=∠A+∠D}$。
证明如下：
1. 因为四边形的内角和为$360°$，
所以$∠ A+∠ ABC+∠ BCD+∠ D=360°$，
移项可得$∠ ABC+∠ BCD=360°-∠ A-∠ D$。
2. 因为$∠ 1$是$∠ ABC$的外角，$∠ 2$是$∠ BCD$的外角，根据邻补角的定义，
所以$∠ 1+∠ ABC=180°$，$∠ 2+∠ BCD=180°$，
则$∠ 1+∠ 2=(180°-∠ ABC)+(180°-∠ BCD)=360°-(∠ ABC+∠ BCD)$。
3. 将$∠ ABC+∠ BCD=360°-∠ A-∠ D$代入上式，
得$∠ 1+∠ 2=360°-(360°-∠ A-∠ D)=∠ A+∠ D$。
即$∠ 1+∠ 2=∠ A+∠ D$。
【答案】
$\boldsymbol{∠1+∠2=∠A+∠D}$
【知识点】
四边形内角和定理，邻补角的性质
【点评】
本题考查四边形内角和定理与邻补角性质的综合应用，解题关键是通过$∠ ABC$、$∠ BCD$作为中间量进行代换，建立目标角之间的联系，需要熟练掌握多边形内角和与邻补角的相关知识。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决同一种正多边形密铺地面的问题，核心是明确密铺的关键条件：围绕一点拼接的几个正多边形的内角之和必须等于360°，且顶点聚在一起无空隙。首先回忆正n边形的内角计算公式，接着设需要k个这样的正n边形，根据内角和为360°建立方程，再利用k和n均为正整数的限制，推导得出n的所有可能值。具体思考步骤：1. 写出正n边形的内角表达式；2. 根据密铺条件列出方程；3. 化简方程得到k关于n的表达式；4. 结合正整数的性质，分析n-2是4的正约数，进而求出n的可能值。
【解析】
设该正多边形为正$n$边形，根据正多边形内角公式，其每个内角为$\frac{(n - 2) × 180°}{n}$。
因为用同一种正多边形地砖铺地时，围绕一点拼接的多边形内角和需为$360°$，设需要$k$个这样的正$n$边形，则有：
$k × \frac{(n - 2) × 180°}{n}=360°$
对等式进行化简：
$k × (n - 2) × 180° = 360° × n$
$k(n - 2) = 2n$
$k=\frac{2n}{n - 2}=2+\frac{4}{n - 2}$
由于$k$、$n$均为正整数，所以$\frac{4}{n - 2}$必须为正整数，即$n - 2$是4的正约数。
当$n - 2 = 1$时，$n = 3$，此时$k = 2+\frac{4}{1}=6$，符合要求；
当$n - 2 = 2$时，$n = 4$，此时$k = 2+\frac{4}{2}=4$，符合要求；
当$n - 2 = 4$时，$n = 6$，此时$k = 2+\frac{4}{4}=3$，符合要求。
因此，这种正多边形的边数可能是3、4、6。
【答案】
这种正多边形的边数有3、4、6三种可能。
【知识点】
正多边形内角和、平面镶嵌（密铺）
【点评】
本题考查平面镶嵌（密铺）的本质原理，需要结合正多边形内角公式与整数的性质求解，既考验对密铺条件的理解，也考查代数推导与分析能力，能帮助学生深化对平面密铺数学逻辑的认识。
【难度系数】
0.4
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