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解：​$(1) $​因为二次函数顶点坐标是​$(-2，0)，$​
设函数表达式为​$y=a(x+2)^2，$​
​$ $​将点​$(1，1)$​代入得​$1=a(1+2)^2，$​即​$9a=1，$​
解得​$a=\frac {1}{9}，$​
​$ $​所以函数表达式为​$y=\frac {1}{9}(x+2)^2。$​
​$ (2) $​因为​$a=\frac {1}{9}＞0，$​抛物线开口向上，对称轴为直线​$x=-2，$​
​$ $​所以当​$x＞-2$​时，​$y$​随​$x$​的增大而增大。
​$ (3) $​令​$x=0，$​则​$y=\frac {1}{9}(0+2)^2=\frac {4}{9}，$​
​$ $​所以函数图像与​$y$​轴交点的坐标为​$(0，\frac {4}{9})。$​
解：​$(1) $​将点​$A(2，0)、$​​$B(0，-6)$​代入​$y=-\frac {1}{2}x^2+bx+c，$​得
​$ \begin {cases} 0=-\frac {1}{2}×2^2+2b+c \\-6=c \end {cases}，$​
​$ $​将​$c=-6$​代入第一个方程得​$0=-2+2b-6，$​解得​$b=4，$​
​$ $​所以函数表达式为​$y=-\frac {1}{2}x^2+4x-6。$​
​$ (2) $​二次函数的对称轴为直线​$x=-\frac {b}{2a}=-\frac {4}{2×(-\frac {1}{2})}=4，$​
则点​$C$​坐标为​$(4，0)，$​
​$ AC=4-2=2，$​点​$B$​到​$x$​轴的距离为​$6，$​
​$ $​所以​$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}×AC×|y_{B}|=\frac {1}{2}×2×6=6。$​
解：因为二次函数图像与$y$轴交点的纵坐标为$-6，$所以$c=-6，$
则点$A(-2,-c)$即$A(-2,6)，$点$A$向右平移8个单位长度得到点$A'(6,6)，$
将$A(-2,6)$和$A'(6,6)$代入$y=ax^2+bx-6，$得
$\begin{cases} 4a-2b-6=6 \\ 36a+6b-6=6 \end{cases}，$
化简得$\begin{cases} 2a-b=6 \\ 6a+b=2 \end{cases}，$
两式相加得$8a=8，$解得$a=1，$
将$a=1$代入$2a-b=6$得$2-b=6，$解得$b=-4，$
所以函数表达式为$y=x^2-4x-6=(x-2)^2-10，$
因此该图像的顶点坐标为$(2,-10)。$
解：​$① $​关于​$x$​轴对称的图像相应的函数表达式：
​$ $​关于​$x$​轴对称的点横坐标不变，纵坐标为相反数，将原函数​$y=x^2-4x+3$​中的​$y$​换成​$-y，$​
​$ $​得​$-y=x^2-4x+3，$​即​$y=-x^2+4x-3。$​
② 关于原点对称的图像相应的函数表达式：
关于原点对称的点横坐标、纵坐标均为相反数，将原函数中的​$x$​换成​$-x，$​​$y$​换成​$-y，$​
​$ $​得​$-y=(-x)^2-4(-x)+3，$​即​$-y=x^2+4x+3，$​整理得​$y=-x^2-4x-3。$​
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