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解：$B$为线段$AF $的黄金分割点，$C$为线段$DG $的黄金分割点，

矩形$AFGD$和矩形$CBFG $都是黄金矩形，证明如下：

设正方形$ABCD$的边长为$a，$则$AB=BC=a$

∵点$E$是$AB$的中点

∴$BE=\frac 12AB=\frac {a}2$

在$Rt△BCE$中，∵$BE=\frac {a}2，$$BC=a$

∴$CE=\sqrt {BE^2+BC^2}=\frac {\sqrt 5}2a$

∴$EF=\frac {\sqrt 5}2a，$$AF=\frac {\sqrt 5+1}2a，$$BF=\frac {\sqrt 5-1}2a$

∴$\frac {AB}{AF}=\frac a{\frac {\sqrt 5+1}2a}=\frac {\sqrt 5-1}2≈0.618$

∴点$B$是线段$AF $的黄金分割点

∵$\frac {DC}{DG}=\frac {AB}{AF}≈0.618$

∴点$C$是线段$DG $的黄金分割点

∵$\frac {AD}{AF}=\frac {AB}{AF}≈0.618，$$\frac {BF}{BC}=\frac {\frac {\sqrt 5-1}2a}{a}=\frac {\sqrt 5-1}2≈0.618$

∴矩形$AFGD$和矩形$CBFG $都是黄金矩形

解：$(1)$如图所示

$(2) CM=AB，$理由如下：

连接$MA$

∵$∠BAC=36°，$$AB=AC$

∴$∠ABC=∠ACB=72°$

∵$BF $平分$∠ABC$

∴$∠1=∠2=36°$

∵$∠1=∠BAC$

∴$BF=AF，$$△ABF $为等腰三角形

∵$E$是$AB$中点

∴$FE⊥AB$

∴$ME$是$AB$的垂直平分线

∴$MA =MB$

∴$∠MAB=∠MBA=72°$

∵$∠BAC=36°$

∴$∠MAC=36°$

∵$∠ACB=72°$

∴$∠AMC=36°=∠MAC$

∴$CM=AC=AB$

解：设$BE=1，$则$BC=AB=2。$

在$Rt\triangle ABE$中，$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}。$

由折叠知$EB'=EB=1，$

∴$AB'=AE-EB'=\sqrt{5}-1。$

∵$AB''=AB'=\sqrt{5}-1，$

∴$\frac{AB''}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，$符合黄金分割的定义，

故点$B''$是AB的黄金分割点。