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$a\geq0，$$b＞0$
​$ \sqrt {\frac {a}{b}}=\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}(a\geq 0，$​​$b＞0) $​
​$ \frac {\sqrt {5}}{2} $​
$2\sqrt{2}$
$\sqrt{3x}$
​$ \frac {5x^2}{11y} $​
B
B
解：原式​$=\frac {\sqrt {3}×\sqrt {8}}{\sqrt {3}}$​
​$=2\sqrt {2}$​
解：原式​$=\sqrt {\frac {3}{2}×18}$​
​$=3\sqrt {3}$​
解：原式​$=\frac {2}{3}×\sqrt {x}$​
​$=\frac {2}{3}\sqrt {x}$​
​$ 0\leq x＜\frac {3}{2} $​
​$ -\frac {1}{6} $​
C
C
【分析】
要确定二次根式除法性质中a、b的取值条件，需结合二次根式有意义的条件和分式有意义的条件来分析：首先，分子中的$\sqrt{a}$是二次根式，被开方数必须非负；其次，分母中的$\sqrt{b}$既是二次根式，又处于分母位置，既要满足被开方数非负，又要保证分母不为0，综合这两个方面就能得出a、b的取值条件。
【解析】
1. 对于分子$\sqrt{a}$：根据二次根式有意义的条件，被开方数需满足$a ≥ 0$；
2. 对于分母$\sqrt{b}$：
作为二次根式，被开方数需满足$b ≥ 0$；
作为分式的分母，$\sqrt{b} ≠ 0$，即$b ≠ 0$；
综合可得$b ＞ 0$。
因此，$a$，$b$应满足的条件为$a ≥ 0$且$b ＞ 0$。
【答案】
$a ≥ 0$且$b ＞ 0$
【知识点】
二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式和分式有意义条件的综合应用，解题时需注意兼顾分子二次根式、分母二次根式及分母不为0这几个关键点，容易忽略的是$b$不能取0，需格外留意。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先明确二次根式除法的性质：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a ≥ 0$，$b ＞ 0$）。题目要求将该性质反过来，只需将等式左右两边交换位置，同时要保证式子有意义的条件不变，即$a ≥ 0$，$b ＞ 0$，这样就能得到对应的逆用形式。
【解析】
二次根式除法的性质为$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a ≥ 0$，$b ＞ 0$），将等式左右两边互换位置，可得逆用形式：$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a ≥ 0$，$b ＞ 0$）。
【答案】
$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a ≥ 0$，$b ＞ 0$）
【知识点】
商的算术平方根性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式除法性质的逆用，需要熟练掌握二次根式相关性质的正向与逆向表达，同时要牢记式子成立的条件，避免因忽略被开方数非负性和分母不为0的要求而出错。
【难度系数】
0.9
【分析】
这道题是二次根式的除法及化简类题目，解题核心是运用二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），先将除法运算转化为根号内的分式运算，再对分式进行约分、化简；对于分母含根号的情况要进行分母有理化，含字母的式子需结合字母取值范围（如第(4)题$y＞0$）确保结果最简。
具体思路：
(1) 先利用除法法则将原式转化为根号内的分式除法，计算后开方化简；
(2) 直接用除法法则合并根号，约分后化简二次根式；
(3) 合并根号后对分式约分，再化简得到结果；
(4) 利用分式开方性质，分子分母分别开方，结合$y＞0$的条件化简。
【解析】
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{2}}÷\sqrt{\dfrac{2}{5}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}÷\dfrac{2}{5}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}}=\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{24}{3}}=\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$；
(3) $\sqrt{9x^{2}y}÷\sqrt{3xy}=\sqrt{\dfrac{9x^2y}{3xy}}=\sqrt{3x}$（由原式有意义可知$x＞0$，$y＞0$）；
(4) $\sqrt{\dfrac{25x^{4}}{121y^{2}}}=\dfrac{\sqrt{25x^4}}{\sqrt{121y^2}}=\dfrac{5x^2}{11y}$（因$y＞0$，故$\sqrt{y^2}=y$）。
【答案】
(1)$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$；(2)$2\sqrt{2}$；(3)$\sqrt{3x}$；(4)$\dfrac{5x^{2}}{11y}$
【知识点】
二次根式除法运算、二次根式化简、分式开方性质
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题时需牢记二次根式除法法则，关注二次根式有意义的条件，化简结果要化为最简形式（最简二次根式、整式或最简分式），熟练掌握约分、开方技巧即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用除法各部分之间的关系：除数=被除数÷商。题目中被除数是$\sqrt{6}$，商是$\sqrt{3}$，所以只需要计算$\sqrt{6}÷\sqrt{3}$的结果，就能得到□里的数。计算时，根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）代入数值计算即可。
【解析】
设□中的数为$x$，根据题意可得：
$\sqrt{6}÷x=\sqrt{3}$
根据除法各部分关系，可得：
$x=\sqrt{6}÷\sqrt{3}$
根据二次根式的除法法则计算：
$x=\sqrt{\frac{6}{3}}=\sqrt{2}$
所以□中应填$\sqrt{2}$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的除法运算
2. 除法各部分间的关系
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次根式的除法运算及除法各部分间的关系，熟练掌握二次根式的除法法则即可快速求解，能帮助学生巩固二次根式基本运算的知识。
【难度系数】
0.8
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用长方形的面积公式推导宽的计算方法。首先回忆长方形面积公式：面积=长×宽，那么宽=面积÷长。接下来需要进行二次根式的除法运算，根据二次根式除法法则，将系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，最后化简得到结果，再对应选项即可。
【解析】
根据长方形的面积公式：$S = 长×宽$，可得宽 = 面积÷长。
将面积$6\sqrt{30}$，长$3\sqrt{15}$代入公式：
$宽 = 6\sqrt{30} ÷ 3\sqrt{15}$
按照二次根式除法法则，分别计算系数和被开方数：
系数部分：$6÷3 = 2$
被开方数部分：$\sqrt{30}÷\sqrt{15} = \sqrt{30÷15} = \sqrt{2}$
将两部分结果相乘：$2×\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
所以该长方形的宽为$2\sqrt{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积公式，二次根式除法运算
【点评】
本题主要考查长方形面积公式的逆用以及二次根式的除法运算，属于基础题型。计算时需注意将系数与被开方数分别进行除法运算，化简过程要准确，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键。
【难度系数】
0.8
【分析】
这道题考查二次根式的除法运算，解题核心是运用二次根式的除法法则$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），同时要将结果化为最简二次根式。具体思路如下：
（1）对于$\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$，直接利用二次根式除法法则，将根号内的数相除后再化简；
（2）对于$\sqrt{\dfrac{3}{2}}÷\sqrt{\dfrac{1}{18}}$，先转化为根号内的除法运算，计算出被开方数后再化简为最简二次根式；
（3）对于$\dfrac{2\sqrt{x²y}}{3\sqrt{xy}}$，先将系数与二次根式分别相除，再对根号内的分式约分，最后化简得到结果，同时要注意被开方数有意义的条件（$x＞0$，$y＞0$）。
【解析】
（1）$\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\dfrac{24}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{\dfrac{3}{2}}÷\sqrt{\dfrac{1}{18}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}÷\dfrac{1}{18}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}×18}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；
（3）$\dfrac{2\sqrt{x²y}}{3\sqrt{xy}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{x²y}{xy}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{x}$（$x＞0$，$y＞0$）。
【答案】
（1）$2\sqrt{2}$；（2）$3\sqrt{3}$；（3）$\dfrac{2}{3}\sqrt{x}$
【知识点】
1. 二次根式的除法法则
2. 最简二次根式化简
3. 分式约分
【点评】
本题是二次根式除法的基础计算题，重点考查二次根式除法法则的灵活运用，以及将二次根式化为最简形式的能力。解题时需注意被开方数的取值范围，确保二次根式有意义，同时化简结果要符合最简二次根式的要求（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式）。
【难度系数】
0.8
【分析】
要使等式$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{3 - 2x}}=\sqrt{\dfrac{x}{3 - 2x}}$成立，需同时满足二次根式有意义的条件和分式分母不为零的条件：
1. 分子中的二次根式$\sqrt{x}$有意义，被开方数需非负，即$x≥0$；
2. 分母中的二次根式$\sqrt{3-2x}$有意义且分母不能为0，因此被开方数$3-2x＞0$（若$3-2x=0$，分母为0，式子无意义）；
3. 右边的二次根式$\sqrt{\dfrac{x}{3 - 2x}}$有意义，被开方数$\dfrac{x}{3 - 2x}≥0$，结合$x≥0$，只需$3-2x＞0$即可保证该分式非负。
综上，联立解不等式组$\begin{cases}x≥0\\3-2x＞0\end{cases}$即可得到$x$的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义及分式分母不为零的条件，列出不等式组：
$\begin{cases}x ≥ 0 \\3 - 2x ＞ 0\end{cases}$
解不等式$3 - 2x ＞ 0$：
移项得$-2x ＞ -3$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ \dfrac{3}{2}$。
结合$x ≥ 0$，可得$x$的取值范围是$0 ≤ x ＜ \dfrac{3}{2}$。
【答案】
$0 ≤ x ＜ \dfrac{3}{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题综合考查二次根式与分式的有意义条件，需注意兼顾分子、分母的二次根式要求，尤其不能忽略分母不能为0的限制，避免因考虑不全出错。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先根据题目中的数量关系列出方程$\sqrt{24} × \sqrt{3}a = -\sqrt{2}$。接下来利用二次根式的乘法法则计算$\sqrt{24} × \sqrt{3}$并化简为最简形式，再通过等式变形，将等式两边同时除以化简后的结果，即可求出$a$的值，计算过程中需注意符号的正确处理。
【解析】
1. 根据题意列出方程：
$\sqrt{24} × \sqrt{3}a = -\sqrt{2}$
2. 计算$\sqrt{24} × \sqrt{3}$：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m} × \sqrt{n} = \sqrt{mn}$（$m≥0$，$n≥0$），可得：
$\sqrt{24} × \sqrt{3} = \sqrt{24 × 3} = \sqrt{72} = \sqrt{36 × 2} = 6\sqrt{2}$
3. 代入方程求解$a$：
将$\sqrt{24} × \sqrt{3}=6\sqrt{2}$代入方程得：
$6\sqrt{2}a = -\sqrt{2}$
等式两边同时除以$6\sqrt{2}$（$\sqrt{2} ≠ 0$），得：
$a = \frac{-\sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = -\frac{1}{6}$
【答案】
$-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
二次根式的乘法，解一元一次方程
【点评】
本题主要考查二次根式的乘法运算与简单一元一次方程的求解，解题关键是熟练掌握二次根式乘法法则并准确化简，同时注意符号的正确处理，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
【分析】
要判断三个算式的正确性，需依据二次根式的乘除运算法则，分别对每个算式进行计算，将结果与原式给出的结果对比，统计正确算式的个数，进而确定答案。具体思路为：先回忆二次根式乘法（$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$a≥0,b≥0$）和除法（$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$，$a≥0,b＞0$）法则，再逐个计算验证。
【解析】
我们分别对三个算式进行计算：
①计算$\sqrt{0.4}×\sqrt{3.6}$：
根据二次根式乘法法则，$\sqrt{0.4}×\sqrt{3.6}=\sqrt{0.4×3.6}=\sqrt{1.44}=1.2$，与原式结果一致，故①正确；
②计算$\sqrt{\dfrac{5}{3}}÷\sqrt{\dfrac{5}{6}}$：
根据二次根式除法法则，$\sqrt{\dfrac{5}{3}}÷\sqrt{\dfrac{5}{6}}=\sqrt{\dfrac{5}{3}÷\dfrac{5}{6}}=\sqrt{\dfrac{5}{3}×\dfrac{6}{5}}=\sqrt{2}$，与原式结果一致，故②正确；
③计算$4×\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{20}}$：
先化简$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，则$\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{20}}=\dfrac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
再计算$4×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，与原式给出的$\sqrt{3}$不一致，故③错误。
综上，正确的算式有①和②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘除运算、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式乘除运算法则的实际应用，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，计算时需仔细化简二次根式，避免因计算失误导致判断错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
要解决这道题，我们的思路是将$\sqrt{2×0.03}$逐步化简，转化为用已知的$\sqrt{2}=a$和$\sqrt{3}=b$表示的形式：
1. 首先把被开方数中的小数0.03转化为分数，方便和已知的$\sqrt{3}$建立联系；
2. 利用二次根式的乘法和商的运算性质，将原式拆分为可代入a、b的形式；
3. 把$\sqrt{2}$换成a，$\sqrt{3}$换成b，最后化简得到结果，再与选项对比即可。
【解析】
解：对$\sqrt{2×0.03}$进行化简：
1. 先将小数转化为分数：$0.03=\frac{3}{100}$，则$2×0.03=2×\frac{3}{100}=\frac{6}{100}$；
2. 根据二次根式的运算性质：$\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$（$m≥0$，$n＞0$），$\sqrt{mn}=\sqrt{m}·\sqrt{n}$（$m≥0$，$n≥0$），可得：
$\sqrt{2×0.03}=\sqrt{\frac{6}{100}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{100}}$；
3. 因为$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}=\sqrt{2}·\sqrt{3}$，已知$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$，所以$\sqrt{6}=ab$；
4. 又$\sqrt{100}=10$，代入得：$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{100}}=\frac{ab}{10}$。
因此$\sqrt{2×0.03}$可以表示为$\frac{ab}{10}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质、代数式代换
【点评】
本题考查二次根式的化简与代数式代换的综合应用，解题的关键是灵活运用二次根式的运算性质，将被开方数转化为含已知二次根式的形式，题目难度较低，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
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