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解：原式​$=\frac {4×5}{8}$​
​$=\frac {5}{2}$​
解：原式​$=\frac {x}{3y}\sqrt {2}$​
解：原式​$=-5x\sqrt {2x}÷\sqrt {\frac {9}{2}x}$​
​$=-\frac {10}{3}x$​
解：设小圆半径为$r\ \text{m}，$由题意得：
$\pi(\sqrt{7})^{2}-\pi r^{2}=3\pi r^{2}$
$7\pi - \pi r^{2}=3\pi r^{2}$
$7=4r^{2}$
$r^{2}=\dfrac{7}{4}$
$r=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$（负值舍去）
答：小圆的半径为$\dfrac{\sqrt{7}}{2}\ \text{m}$
（1）举例：当$a=1，$$b=1$时，$\sqrt{1}+\sqrt{1}=2，$$\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx1.414，$则$\sqrt{a}+\sqrt{b}＞\sqrt{a+b}；$
当$a=0，$$b=0$时，$\sqrt{0}+\sqrt{0}=0，$$\sqrt{0+0}=0，$
则$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}。$
猜想：$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{a+b}$（$a\geq0，$$b\geq0$），
当且仅当$a=0$或$b=0$时等号成立。
（2）证明：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+2\sqrt{ab}+b，$
$(\sqrt{a+b})^{2}=a+b。$
因为$2\sqrt{ab}\geq0，$
所以$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}\geq(\sqrt{a+b})^{2}。$
又因为$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq0，$$\sqrt{a+b}\geq0，$
所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq\sqrt{a+b}，$
当且仅当$ab=0$即$a=0$或$b=0$时等号成立。
解：两位同学的解法都正确，
两位同学的解答都符合二次根式运算性质。
法​$ 1∶\frac {ab}{10}-\frac {7a}{b}$​
​$=\frac {ab^2-70a}{10b}$​
​$=\frac {\sqrt 7×70 - 70×\sqrt 7}{10×\sqrt {70}}$​
​$ = 0。$​
所以​$\frac {ab}{10}=\frac {7a}b。$​
法​$ 2∶\frac {ab}{10}$​
​$=\frac {\sqrt 7×\sqrt {70}}{10}$​
​$=\frac {\sqrt 7×\sqrt {7×10}}{10}$​
​$=\frac {7\sqrt {10}}{10}，$​
​$\frac {7a}{b}$​
​$=\frac {7\sqrt 7}{\sqrt {70}}$​
​$=\frac {7\sqrt 7}{\sqrt 7×\sqrt {10}}$​
​$=\frac 7{\sqrt {10}}$​
​$=\frac {7\sqrt {10}}{10}。$​
所以​$\frac {ab}{10}=\frac {7a}b。$​
【分析】
本题考查二次根式的化简与除法运算，需根据二次根式的性质和运算法则逐步求解：
（1）对于$\sqrt{\dfrac{16×25}{64}}$，可先计算分子乘积再化简分数，最后开方；也可利用二次根式商的算术平方根性质拆分后分别开方计算。
（2）对于$\sqrt{\dfrac{2x^{2}}{9y^{2}}}$（$x＞0$，$y＞0$），利用商的算术平方根性质拆分，结合$\sqrt{a^2}=a$（$a＞0$）的性质，将能开方的部分开方，保留最简二次根式。
（3）对于$5\sqrt{2x^{3}}÷(-3\sqrt{\dfrac{x}{2}})$，根据二次根式除法法则，将系数与二次根式分别相除，化简被开方数后再计算最终结果。
【解析】
（1）
$\sqrt{\dfrac{16×25}{64}}=\sqrt{\dfrac{400}{64}}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}$
（2）因为$x＞0$，$y＞0$，所以：
$\sqrt{\dfrac{2x^{2}}{9y^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2x^{2}}}{\sqrt{9y^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}·\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{9}·\sqrt{y^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}x}{3y}$
（3）
$5\sqrt{2x^{3}}÷(-3\sqrt{\dfrac{x}{2}})$
$=[5÷(-3)]×\sqrt{2x^{3}÷\dfrac{x}{2}}$
$=-\dfrac{5}{3}×\sqrt{2x^{3}×\dfrac{2}{x}}$
$=-\dfrac{5}{3}×\sqrt{4x^{2}}$
$=-\dfrac{5}{3}×2x$
$=-\dfrac{10x}{3}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{\dfrac{5}{2}}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}x}{3y}}$；（3）$\boldsymbol{-\dfrac{10x}{3}}$
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的乘除运算
【点评】
本题为二次根式基础运算题，解题时需注意字母的取值范围对开方结果的影响，严格遵循二次根式的运算法则，确保每一步化简都符合最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先，我们需要利用圆的面积公式，结合题目中“圆环面积是小圆面积的3倍”这一关键条件建立等量关系。设小圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $，圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，根据题意可列出关于$ r $的方程，进而求解$ r $的值（注意半径为正数，需舍去负解）。
【解析】
设小圆的半径为$ r \, \mathrm{m} $。
根据圆的面积公式，大圆的面积为$ π (\sqrt{7})^2 \, \mathrm{m}^2 $，小圆的面积为$ π r^2 \, \mathrm{m}^2 $，圆环的面积为$ π (\sqrt{7})^2 - π r^2 \, \mathrm{m}^2 $。
由题意“圆环面积是小圆面积的3倍”，可列方程：
$π (\sqrt{7})^2 - π r^2 = 3π r^2$
化简方程：
1. 计算$ (\sqrt{7})^2 = 7 $，方程变为：
$7π - π r^2 = 3π r^2$
2. 移项得：
$7π = 4π r^2$
3. 两边同时除以$ π $（$ π ≠ 0 $）：
$7 = 4r^2$
4. 解得$ r^2 = \frac{7}{4} $，因为半径为正数，所以：
$r = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \, \mathrm{m}$
【答案】
$ \dfrac{\sqrt{7}}{2} \, \mathrm{m} $
【知识点】
圆的面积公式，列方程解应用题
【点评】
本题主要考查圆的面积公式的实际应用，核心是根据题目中的面积关系建立等量方程，求解时需注意半径的实际意义，仅取正数解。解题过程中需熟练掌握算术平方根的计算，确保结果准确。
【难度系数】
0.8
【分析】
（1）要比较$\sqrt{a}+\sqrt{b}$与$\sqrt{a + b}$的大小，可选取不同的非负数值代入两个式子计算，根据计算结果的大小关系提出合理猜想；
（2）对于两个非负数的大小比较，可采用平方法，因为非负数的平方的大小关系与原数的大小关系一致，分别计算两个式子的平方，再利用二次根式的非负性即可证明猜想。
【解析】
（1）举例如下：
①当$a=1$，$b=2$时，$\sqrt{1}+\sqrt{2}=1+\sqrt{2}\approx1+1.414=2.414$，$\sqrt{1+2}=\sqrt{3}\approx1.732$，所以$\sqrt{1}+\sqrt{2}＞\sqrt{1+2}$；
②当$a=0$，$b=5$时，$\sqrt{0}+\sqrt{5}=0+\sqrt{5}=\sqrt{5}$，$\sqrt{0+5}=\sqrt{5}$，所以$\sqrt{0}+\sqrt{5}=\sqrt{0+5}$；
③当$a=5$，$b=2$时，$\sqrt{5}+\sqrt{2}\approx2.236+1.414=3.65$，$\sqrt{5+2}=\sqrt{7}\approx2.646$，所以$\sqrt{5}+\sqrt{2}＞\sqrt{5+2}$；
猜想：$\sqrt{a}+\sqrt{b}≥\sqrt{a+b}$（$a≥0$，$b≥0$）。
（2）证明：
因为$a≥0$，$b≥0$，所以$\sqrt{a}≥0$，$\sqrt{b}≥0$。
计算平方：
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$，
$(\sqrt{a+b})^2=a+b$，
因为$2\sqrt{ab}≥0$，所以$a+b+2\sqrt{ab}≥ a+b$，即$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2≥(\sqrt{a+b})^2$。
又因为$\sqrt{a}+\sqrt{b}≥0$，$\sqrt{a+b}≥0$，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}≥\sqrt{a+b}$。
【答案】
（1）举例见解析，猜想：$\sqrt{a}+\sqrt{b}≥\sqrt{a+b}$（$a≥0$，$b≥0$）；
（2）证明见解析。
【知识点】
二次根式的性质、实数大小比较、完全平方公式
【点评】
本题通过“举例-猜想-证明”的过程，考查了二次根式的运算及实数大小比较的方法，体现了特殊到一般的数学思想，培养了归纳推理和逻辑证明的能力。
【难度系数】
0.6
【分析】
首先判断小明和小丽的解法是否正确：小明将4.9转化为分数$\frac{49}{10}$，通过分母有理化后利用二次根式乘法法则拆分$\sqrt{490}$，代入$a$、$b$得到结果；小丽把4.9拆为$49×0.1$，再将$\sqrt{0.1}$利用二次根式除法法则转化为$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}$，代入$a$、$b$得到结果，两人的步骤均符合二次根式运算性质，解法都正确。
证明$\frac{ab}{10}$与$\frac{7a}{b}$相等有两种思路：一是作差法，若两式差为0则相等；二是分别化简两式，转化为相同形式即可证明相等。
【解析】
1. 判断解法正确性：
小明的解法运用了二次根式的分母有理化和乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），每一步运算均符合二次根式性质；小丽的解法运用了二次根式的除法法则$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0,b＞0$），运算步骤也符合二次根式性质，因此两人的解法都正确。
2. 证明$\frac{ab}{10}=\frac{7a}{b}$：
法1（作差法）：
$\frac{ab}{10}-\frac{7a}{b}=\frac{ab^2 - 70a}{10b}$
将$a=\sqrt{7}$，$b=\sqrt{70}$代入分子：
$ab^2 - 70a=\sqrt{7}×(\sqrt{70})^2 - 70×\sqrt{7}=\sqrt{7}×70 - 70\sqrt{7}=0$
因此$\frac{ab}{10}-\frac{7a}{b}=\frac{0}{10b}=0$，即$\frac{ab}{10}=\frac{7a}{b}$。
法2（化简法）：
化简$\frac{ab}{10}$：
$\frac{ab}{10}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{7×10}}{10}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{7}×\sqrt{10}}{10}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$
化简$\frac{7a}{b}$：
$\frac{7a}{b}=\frac{7\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{7\sqrt{7}}{\sqrt{7}×\sqrt{10}}=\frac{7}{\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$
因此$\frac{ab}{10}=\frac{7a}{b}$。
【答案】
两位同学的解法都正确；$\frac{ab}{10}$与$\frac{7a}{b}$相等的证明见上述解析。
【知识点】
二次根式的化简、作差法证等式
【点评】
本题考查二次根式运算性质的灵活运用，通过不同化简思路得到形式不同但等价的结果，需熟练掌握二次根式乘除法则及分母有理化方法，同时学会用作差法或化简法验证等式，培养灵活解题思维。
【难度系数】
0.6
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