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等腰三角形

1001
8778
1或64
解：原式= 3(a-b)²
解：原式= -x(x+1)²
解：原式= amx(2x-m)(2x+m)
解：原式= (m-2)(x-y)(x+y)
解：原式= 2(a-b)(3a+4b)
解：原式= (x+1)²(x²+4x-1)
【分析】
要判断三角形的形状，需从给定等式入手，先通过因式分解简化等式，再结合三角形边长的性质分析边的关系。首先观察等式左边，两项含有公因式$(a^2 - c^2)$，提取公因式后得到乘积形式的等式；由于三角形边长为正数，$b^2＞0$，则$1+b^2$不可能为0，因此只能是$a^2 - c^2=0$，进而得出$a=c$，由此判断三角形为等腰三角形。
【解析】
1. 因式分解等式：
已知$(a^2 - c^2) + b^2(a^2 - c^2) = 0$，提取公因式$(a^2 - c^2)$，可得：
$(a^2 - c^2)(1 + b^2) = 0$
2. 分析因式取值：
因为$b$是三角形的边长，所以$b＞0$，则$b^2＞0$，故$1 + b^2＞1$，即$1 + b^2 ≠ 0$。
3. 推导边的关系：
要使乘积为0，且$1 + b^2 ≠ 0$，则必有$a^2 - c^2=0$，即$(a - c)(a + c)=0$。
又因为$a$、$c$是三角形的边长，$a + c＞0$，所以$a - c=0$，即$a=c$。
4. 判断三角形形状：
根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，因此这个三角形是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用、等腰三角形的判定、三角形边长的性质
【点评】
本题考查了因式分解与等腰三角形判定的综合应用，解题关键是通过因式分解将复杂等式转化为乘积形式，同时利用三角形边长为正数的隐含条件排除不可能的情况，注重基础知识点的运用，难度较低。
【难度系数】
0.8
【分析】
第一问：要找最小的四位“交替数”$\overline{abcd}$，四位正整数的千位数字$a$最小为1（四位数千位不能为0），要使数整体最小，需让高位到低位数字尽可能小。百位$b$取最小的0，根据“交替数”定义$a+c=b+d$，即$1+c=0+d$，要让数最小，十位$c$取最小的0，则$d=1$，得到1001，验证满足$1+0=0+1$，是最小的四位交替数。
第二问：首先利用平方差公式分解千位与百位的平方差$a^2 - b^2=15$，得到$(a-b)(a+b)=15$，结合$a$、$b$的数位取值范围（$a≥1$，$a＞b$，均为一位数），找出所有可能的$(a,b)$组合；再根据“交替数”条件$a+c=b+d$得到$d=a+c-b$，结合十位与个位的和能被5整除的条件，代入$d$的表达式得到关于$c$的整除条件，求出符合条件的$c$值，进而得到对应的数，比较后取最大值。
【解析】
第一问：求最小的“交替数”
四位正整数$\overline{abcd}$中，千位数字$a$最小为1（四位数千位不能为0）。要使数最小，百位数字$b$取最小的0，根据“交替数”定义$a+c=b+d$，可得$1+c=0+d$，即$d=c+1$。
要让数最小，十位数字$c$取最小的0，则$d=0+1=1$，此时数为1001，满足$1+0=0+1$，是最小的四位“交替数”。
第二问：求满足条件的“交替数”$m$的最大值
1. 确定千位$a$与百位$b$的可能值：
由$a^2 - b^2=15$，根据平方差公式因式分解得：
$(a-b)(a+b)=15$
因为$a$、$b$是一位数（$1≤ a≤9$，$0≤ b≤9$，且$a＞b$），15的正整数因数对为$(1,15)$、$(3,5)$：
当$\begin{cases}a - b = 1\\a + b = 15\end{cases}$时，解得$\begin{cases}a=8\\b=7\end{cases}$；
当$\begin{cases}a - b = 3\\a + b = 5\end{cases}$时，解得$\begin{cases}a=4\\b=1\end{cases}$。
2. 结合条件求$c$、$d$的值：
根据“交替数”定义$a+c=b+d$，得$d=a+c-b$。
又十位数字$c$与个位数字$d$的和能被5整除，即$c+d≡0\pmod{5}$，代入$d$的表达式得：
$c + (a+c - b) = (a - b) + 2c≡0\pmod{5}$
对于$(a,b)=(8,7)$，$a-b=1$，则$1+2c≡0\pmod{5}$，即$2c≡4\pmod{5}$，解得$c=2$或$7$（$c$为0-9的整数）。要使数最大，取$c=7$，则$d=8+7-7=8$，此时数为8778。
对于$(a,b)=(4,1)$，$a-b=3$，则$3+2c≡0\pmod{5}$，即$2c≡2\pmod{5}$，解得$c=1$或$6$。对应数为4114、4169，均小于8778。
综上，满足条件的“交替数”$m$的最大值为8778。
【答案】
1001；8778
【知识点】
平方差公式应用，数的整除性，数位性质
【点评】
本题考查新定义“交替数”的综合应用，需要结合数位取值范围、平方差公式、数的整除性等知识逐步分析，解题关键是将新定义转化为数学条件，缩小取值范围后找到符合要求的数。
【难度系数】
0.3
【分析】
首先我们需要利用幻方的核心规律求出关键的和值：先计算所有填入数字的总和，再通过图形中数字的重复计算关系，推导得出中间正方形及每个三角形的顶点数字之和。接着结合图②中已有的数字，建立字母间的等式关系，找出符合条件的数字组合，最后代入代数式计算结果。具体思考步骤如下：
1. 先计算给出的8个数字的总和，根据幻方“每个三角形顶点和等于中间正方形顶点和”的规律，分析图形中数字的重复计算次数，列出等式求出这个共同的和值。
2. 利用这个和值，结合图②中已填的数字，分别列出关于a、b、c、d的等式，得到它们之间的关系。
3. 从剩余数字中找出满足a+b=5的所有组合，逐一验证这些组合是否符合剩余数字的要求，排除无效组合后，代入代数式计算对应的值。
【解析】
1. 计算所有填入数字的总和：
$7+6+4+3+2+(-1)+(-2)+(-4)=15$
2. 设中间正方形四个顶点的数字之和为$x$，根据题意每个三角形的三个顶点数字之和也为$x$。观察图形可知，四个三角形的数字之和为$4x$，其中中间正方形的每个数字被计算了2次，外围4个数字被计算了1次，因此：
$4x = 2x + (15 - x)$
解得$3x=15$，即$x=5$。
3. 结合图②，中间正方形四个顶点的和为5，即：
$-4 + b + 4 + a = 5$，化简得$a + b = 5$。
4. 对各个三角形列等式推导字母关系：
下方三角形：$a + 4 + d = 5$，移项得$d = 1 - a$；
左方三角形：$c + a + (-4) = 5$，移项得$c = 9 - a$。
5. 从剩余数字$7,6,3,2,-1,-2$中，找出和为5的$(a,b)$组合并验证：
组合1：$a=3$，$b=2$
此时$d=1-3=-2$，$c=9-3=6$，剩余数字$7,-1$分别填入上方和右方的圆：
上方三角形：$-4+2+7=5$，符合规律；右方三角形：$2+4+(-1)=5$，符合规律。
代入代数式：$(c + d - a)^b=(6-2-3)^2=1^2=1$。
组合2：$a=2$，$b=3$
此时$d=1-2=-1$，$c=9-2=7$，剩余数字$6,-2$分别填入上方和右方的圆：
上方三角形：$-4+3+6=5$，符合规律；右方三角形：$3+4+(-2)=5$，符合规律。
代入代数式：$(c + d - a)^b=(7-1-2)^3=4^3=64$。
其他组合（如$a=6,b=-1$、$a=-1,b=6$等）会得到不在剩余数字中的$c$或$d$，均不符合要求，予以排除。
【答案】
1 或 64
【知识点】
有理数的运算，幻方规律，代数式求值
【点评】
本题需要先通过幻方的规律求出关键和值，再通过等式推导各字母间的关系，结合数字组合进行分类验证，既考查了逻辑推理能力，也考查了有理数运算与代数式求值的应用，解题时需注意全面考虑所有可能的有效组合，避免漏解。
【难度系数】
0.4
【分析】
因式分解的核心思路是“一提二套”，即先提取公因式，再套用公式（完全平方公式、平方差公式），具体到每个小题：
1. 第(1)题：先观察各项的公因式为3，提取后剩余部分符合完全平方公式的形式，进而分解；
2. 第(2)题：先提取负号和公因式$-x$，剩余部分是完全平方式，再套用公式；
3. 第(3)题：先提取公因式$amx$，剩余部分是平方差的形式，将其写成平方差标准形式后套用公式分解；
4. 第(4)题：先将$(2-m)$变形为$-(m-2)$，统一公因式$(m-2)$，提取后剩余部分是平方差，再套用公式；
5. 第(5)题：直接提取公因式$2(a-b)$即可完成分解；
6. 第(6)题：整体是平方差的形式，先套用平方差公式分解，再对分解后的部分观察，其中一个括号内的式子符合完全平方公式，继续分解到不能再分解为止。
【解析】
（1）
$\begin{aligned}3a^2 - 6ab + 3b^2&=3(a^2 - 2ab + b^2)\\&=3(a - b)^2\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}-x^3 - 2x^2 - x&=-x(x^2 + 2x + 1)\\&=-x(x + 1)^2\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}4amx^3 - am^5x&=amx(4x^2 - m^4)\\&=amx[(2x)^2 - (m^2)^2]\\&=amx(2x + m^2)(2x - m^2)\end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned}x^2(m - 2) + y^2(2 - m)&=x^2(m - 2) - y^2(m - 2)\\&=(m - 2)(x^2 - y^2)\\&=(m - 2)(x + y)(x - y)\end{aligned}$
（5）
$\begin{aligned}6a(a - b) + 8b(a - b)&=2(a - b)(3a + 4b)\end{aligned}$
（6）
$\begin{aligned}(x^2 + 3x)^2 - (x - 1)^2&=[(x^2 + 3x) + (x - 1)][(x^2 + 3x) - (x - 1)]\\&=(x^2 + 4x - 1)(x^2 + 2x + 1)\\&=(x^2 + 4x - 1)(x + 1)^2\\&=(x + 1)^2(x^2 + 4x - 1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3(a - b)^2}$；(2) $\boldsymbol{-x(x + 1)^2}$；(3) $\boldsymbol{amx(2x + m^2)(2x - m^2)}$；(4) $\boldsymbol{(m - 2)(x + y)(x - y)}$；(5) $\boldsymbol{2(a - b)(3a + 4b)}$；(6) $\boldsymbol{(x + 1)^2(x^2 + 4x - 1)}$
【知识点】
提取公因式法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，覆盖了“一提二套”的核心步骤，重点考查了公因式的提取（包括符号变形后的公因式）、公式的准确应用，要求学生掌握因式分解要分解到不能再分解为止，是巩固因式分解基础的典型题目。
【难度系数】
0.6
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