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D
B
A
C
A
B
C
A
(y-1)
(m-1)(m+1)
a(a+5)
(x-2)²
(m-3n)(3m-n)
4
3
【分析】
要解决这道题，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，且变形前后的式子是恒等的（即相等）。我们可以根据这个核心要求，逐个分析选项：
1. 先判断变形方向是否为多项式到整式积的形式，排除整式乘法的选项；
2. 再判断变形后是否为整式乘积形式，排除非乘积形式的选项；
3. 最后验证变形前后式子是否相等，排除错误变形的选项，从而找到正确答案。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一分析：
选项A：$(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$，该变形是从整式的积转化为多项式，属于整式的乘法运算，与因式分解（多项式到整式积的变形）的方向相反，不符合因式分解的定义，故A错误；
选项B：$a^2 + 4a + 4 = a(a + 4) + 4$，变形后的右边是整式与常数的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故B错误；
选项C：将右边$(a - 2)(a + 4)$展开，得$a^2 + 4a - 2a - 8 = a^2 + 2a - 8$，与左边$a^2 - 2a + 8$不相等，变形错误，不是正确的因式分解，故C错误；
选项D：$2ax^2 - 2ay^2$，先提取公因式$2a$，得到$2a(x^2 - y^2)$，再利用平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，进一步分解为$2a(x + y)(x - y)$，变形后是几个整式乘积的形式，且与原式恒等，符合因式分解的定义且正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义、提公因式法因式分解、平方差公式因式分解
【点评】
本题为基础题，主要考查因式分解的定义及正确的因式分解方法。解题的关键是紧扣因式分解的两个核心要点：①变形结果必须是几个整式的乘积形式；②变形前后的式子是恒等的。同时要注意区分整式乘法与因式分解的互逆关系，对于疑似正确的选项，可通过展开结果反向验证变形是否正确。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决这道题，我们可以利用平方差公式的逆运算推导。首先回忆平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，题目中左边是$16m^2 - □$，分解后得到右边的$(4m + 5n)(4m - 5n)$，我们可以先将右边的式子用平方差公式展开，再与左边的式子对比，就能求出$□$的值。具体思路是：先计算右边展开后的结果，再通过等式$16m^2 - □ = (4m + 5n)(4m - 5n)$，移项得到$□ = 16m^2 - (4m + 5n)(4m - 5n)$，进而计算出$□$。
【解析】
根据平方差公式$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，对$(4m + 5n)(4m - 5n)$展开：
$\begin{aligned}(4m + 5n)(4m - 5n)&=(4m)^2 - (5n)^2\\&=16m^2 - 25n^2\end{aligned}$
因为$16m^2 - □ = 16m^2 - 25n^2$，对比等式两边可得$□ = 25n^2$，所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活运用，需要熟练掌握平方差公式的结构特征，既能正向分解因式，也能逆向展开整式乘法，通过对比等式两边的项来求解未知项，属于基础题型，重点在于对公式的理解和应用。
【难度系数】
0.8
【分析】
要计算$a^2 - b^2$的值，首先联想到平方差公式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。题目中已经给出$a+b=3$和$a-b=\frac{1}{3}$这两个整体的值，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，直接将已知值代入平方差公式进行计算即可快速得到结果。
【解析】
根据平方差公式：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
已知$a + b = 3$，$a - b = \frac{1}{3}$，将其代入上式：
$a^2 - b^2=3×\frac{1}{3}=1$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，核心是利用公式将所求式子转化为已知条件的组合形式，通过整体代入简化计算过程，避免了求解单个变量的繁琐步骤，体现了整体思想在代数运算中的便捷性。
【难度系数】
0.9
【分析】
要判断多项式能被哪个式子整除，关键是对多项式进行因式分解，若分解结果中包含选项中的因式，则该多项式能被其整除。观察多项式$(3a + 5)^2 - 4$，它符合平方差公式的形式，因此先利用平方差公式因式分解，再整理后分析分解结果即可。
【解析】
1. 利用平方差公式因式分解：
多项式$(3a + 5)^2 - 4$可变形为$(3a + 5)^2 - 2^2$，根据平方差公式$A^2 - B^2=(A-B)(A+B)$（其中$A=3a+5$，$B=2$），可得：
$(3a + 5)^2 - 2^2=(3a + 5 - 2)(3a + 5 + 2)$
2. 化简括号内的表达式：
$=(3a + 3)(3a + 7)$
3. 提取公因式：
$=3(a + 1)(3a + 7)$
由于$a$是不为0的整数，分解结果中含有因式$(a + 1)$，因此多项式$(3a + 5)^2 - 4$能被$a + 1$整除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、多项式整除
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，通过平方差公式将多项式分解为乘积形式，是判断整除性的核心思路，熟练掌握因式分解方法是解题关键。
【难度系数】
0.6
【分析】
要判断两个结论的正误，需分别验证：
1. 对于结论①，计算$A·x$的结果，与$B$对比是否相等；
2. 对于结论②，先对$B$因式分解，再找出$A$、$B$都含有的因式，判断公因式是否为$x$。
具体来说，计算$A·x=(x-1)x$，展开后与$B=x^2-x$一致，故①正确；将$B$因式分解为$x(x-1)$，$A=x-1$，可见两者的公因式是$x-1$而非$x$，故②错误。因此①正确，②不正确，对应选项A。
【解析】
1. 验证结论①：
已知$A = x - 1$，则$A · x = (x - 1)·x = x^2 - x$，
又因为$B = x^2 - x$，所以$A · x = B$，结论①正确。
2. 验证结论②：
对$B$因式分解：$B = x^2 - x = x(x - 1)$，
$A = x - 1$，可见$A$和$B$都含有的因式是$x - 1$，而$A$中不含因式$x$，因此$A$、$B$的公因式是$x - 1$，不是$x$，结论②不正确。
综上，①正确，②不正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
整式乘法、公因式确定、因式分解
【点评】
本题考查整式乘法运算与公因式的确定，解题关键是熟练运用整式乘法法则计算，以及通过因式分解准确找出两个整式的公因式，注意公因式是两个整式共有的因式，不能仅依据其中一个整式的因式判断。
【难度系数】
0.7
【分析】
要解决这道题，首先明确公式法分解因式的常用公式为平方差公式（$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$）和完全平方公式（$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$），然后逐个分析每个多项式是否符合公式的结构特征：
1. 对于多项式①，观察其是否为平方差形式；
2. 对于多项式②，判断是否符合完全平方公式“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”的特征；
3. 对于多项式③，先提取负号，再看括号内式子是否符合完全平方公式；
4. 对于多项式④，平方和形式不符合公式法分解的特征。
通过逐一判断，统计能运用公式法分解的多项式个数，进而确定答案。
【解析】
我们逐个分析每个多项式：
1. ①$x^2 - 4y^2$：
可变形为$x^2 - (2y)^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2$的结构，根据平方差公式分解得：
$x^2 - 4y^2=(x-2y)(x+2y)$，能用公式法分解因式。
2. ②$9a^2b^2 - 3ab + 1$：
虽可写成$(3ab)^2 - 3ab + 1^2$，但完全平方公式要求中间项为$\pm2×3ab×1=\pm6ab$，而原式中间项为$-3ab$，不满足完全平方公式特征，也不符合平方差公式，不能用公式法分解因式。
3. ③$-x^2 - 2xy - y^2$：
先提取负号得$-(x^2 + 2xy + y^2)$，括号内的式子符合完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，分解得：
$-x^2 - 2xy - y^2=-(x+y)^2$，能用公式法分解因式。
4. ④$x^2 + y^2$：
是平方和的形式，既不符合平方差公式（需为平方差），也不符合完全平方公式（缺少中间交叉项），不能用公式法分解因式。
综上，能运用公式法分解因式的多项式有①和③，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【点评】
本题重点考查公式法分解因式的公式结构特征，解题关键是准确识别平方差公式（两个平方项符号相反）和完全平方公式的结构，注意对多项式进行适当变形（如提取负号）后再判断，避免因忽略变形而误判。
【难度系数】
0.6
【分析】
要对整式$x^3 - 4xy^2$分解因式，可按以下步骤思考：
1. 先观察式子各项的公因式，每一项都含有公因式$x$，因此第一步提取公因式$x$，得到$x(x^2 - 4y^2)$；
2. 再看括号内的$x^2 - 4y^2$，它符合平方差公式的形式（$a^2 - b^2$），其中$a=x$，$b=2y$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可将其分解为$(x+2y)(x-2y)$；
3. 最后将两步结果结合，得到最终分解结果，再逐一对比选项：
选项A：$(x+2y)^2$展开为$x^2+4xy+4y^2$，与$x^2-4y^2$不符，错误；
选项B：结果中含有分式，分解因式的结果必须是整式的乘积形式，错误；
选项D：$(x-2y)^2$展开为$x^2-4xy+4y^2$，与$x^2-4y^2$不符，错误；
选项C符合分解结果，正确。
【解析】
对$x^3 - 4xy^2$分解因式：
1. 提取公因式$x$：
$x^3 - 4xy^2 = x(x^2 - 4y^2)$
2. 利用平方差公式分解$x^2 - 4y^2$（其中$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2$）：
$x(x^2 - (2y)^2) = x(x+2y)(x-2y)$
因此分解结果为$x(x+2y)(x-2y)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题关键是遵循“先提公因式，再用公式”的顺序，同时要注意分解因式的结果必须是整式的乘积形式，需区分平方差公式与完全平方公式的适用条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先回忆三角形的面积公式：三角形面积 = $\frac{1}{2}×$底×高，要求这条高对应的底边长，需将公式变形得到底 = $2×$三角形面积÷高。接着把题目给出的面积$12a^3 - 6ab + 3a^2$和高$3a$代入变形后的式子，再利用多项式除以单项式的运算法则计算，最后对比选项得出答案。
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$S$为面积，$a$为底边长，$h$为对应高），变形可得底边长$a = \frac{2S}{h}$。
将$S=12a^3 - 6ab + 3a^2$，$h=3a$代入：
$\begin{aligned}\mathrm{底边长}&=2×(12a^3 - 6ab + 3a^2)÷3a\\&=(24a^3 - 12ab + 6a^2)÷3a\\&=24a^3÷3a - 12ab÷3a + 6a^2÷3a\\&=8a^2 - 4b + 2a\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积公式，多项式除以单项式
【点评】
本题考查三角形面积公式的逆用及整式除法运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式的运算法则，即把多项式的每一项分别除以单项式，再将所得商相加。
【难度系数】
0.6
【分析】
要找出两个式子的公因式，首先回忆公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式叫做公因式。我们可以分别拆解两个式子的组成：式子$x(y - 1)$由因式$x$和$(y - 1)$组成，式子$-18(y - 1)$由因式$-18$和$(y - 1)$组成。对比两个式子的因式，发现它们共同含有的因式是$(y - 1)$，且没有其他公共因式，因此这个就是它们的公因式。
【解析】
根据公因式的定义，分析两个式子：
1. 式子$x(y - 1)$的因式为$x$和$(y - 1)$；
2. 式子$-18(y - 1)$的因式为$-18$和$(y - 1)$；
两个式子共有的因式是$(y - 1)$，因此它们的公因式是$y - 1$。
【答案】
$y - 1$
【知识点】
公因式的概念
【点评】
本题主要考查对公因式定义的理解与应用，找公因式时需同时关注系数的最大公约数以及式子中共同含有的字母或多项式因式，本题较为基础，重点在于识别多项式形式的公因式。
【难度系数】
0.9
【分析】
本题考查因式分解的基本方法，针对每个小题的特点选择合适的分解方法：
(1) 观察式子$m^2 - 1$，它符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=m$，$b=1$，直接利用平方差公式分解即可；
(2) 式子$a^2 + 5a$中，每一项都含有公因式$a$，所以采用提公因式法，提取公因式$a$后，剩余部分为$a+5$；
(3) 式子$x^2 - 4x + 4$，是完全平方的形式，符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，其中$a=x$，$b=2$，直接套用公式分解；
(4) 式子$4(m - n)^2 - (m + n)^2$，先将$4(m - n)^2$转化为$[2(m-n)]^2$，此时式子变为两个平方项的差，再利用平方差公式分解，最后展开括号合并同类项得到结果。
【解析】
(1) $m^2 - 1 = m^2 - 1^2 = (m + 1)(m - 1)$；
(2) $a^2 + 5a = a(a + 5)$；
(3) $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2× x×2 + 2^2 = (x - 2)^2$；
(4) $4(m - n)^2 - (m + n)^2$
$=[2(m - n)]^2 - (m + n)^2$
$=[2(m - n) + (m + n)][2(m - n) - (m + n)]$
$=(2m - 2n + m + n)(2m - 2n - m - n)$
$=(3m - n)(m - 3n)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m + 1)(m - 1)}$；(2) $\boldsymbol{a(a + 5)}$；(3) $\boldsymbol{(x - 2)^2}$；(4) $\boldsymbol{(3m - n)(m - 3n)}$
【知识点】
平方差公式分解因式、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，涵盖了提公因式法和公式法两种核心分解方法，需要学生准确识别式子的结构特征，熟练套用对应公式，通过练习可巩固因式分解的基本技能，为后续复杂因式分解及代数运算奠定基础。
【难度系数】
0.8
【分析】
首先观察已知条件$a + b - 2 = 0$，可变形得到$a + b = 2$。对于所求代数式$a^2 - b^2 + 4b$，我们可以利用平方差公式对其变形，将已知的$a+b=2$代入后化简整理，转化为含有$a+b$的形式，用整体代入法求解；也可以采用代入消元法，由$a+b=2$得$a=2-b$，代入代数式计算，两种方法都能得到结果。
【解析】
方法一：
由$a + b - 2 = 0$，得$a + b = 2$。
对代数式$a^2 - b^2 + 4b$利用平方差公式变形：
$a^2 - b^2 + 4b=(a - b)(a + b) + 4b$
将$a + b = 2$代入上式：
$=2(a - b) + 4b$
展开括号：
$=2a - 2b + 4b$
合并同类项：
$=2a + 2b$
提取公因式：
$=2(a + b)$
再次代入$a + b = 2$：
$=2×2=4$
方法二：
由$a + b - 2 = 0$，得$a = 2 - b$。
将$a = 2 - b$代入$a^2 - b^2 + 4b$：
$=(2 - b)^2 - b^2 + 4b$
展开完全平方：
$=4 - 4b + b^2 - b^2 + 4b$
合并同类项：
$=4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式，整体代入法，代数式化简求值
【点评】
本题考查代数式化简求值的基本方法，通过平方差公式变形或代入消元法，结合整体代入的数学思想，将复杂代数式转化为可利用已知条件求解的形式，题型基础，注重对公式运用和转化思想的考查，有助于提升学生的代数变形能力。
【难度系数】
0.8
【分析】
题目已知$x^2 + x = 1$，要求四次多项式的值，直接求解$x$再代入计算会很繁琐，因此采用降次法结合整体代入思想来简化计算。首先观察代数式中高次项$2x^4 + 2x^3$，可提取公因式$2x^2$，将其转化为含$x^2 + x$的形式，利用已知条件替换后降次；再对剩余的二次项继续用整体代入法简化，最终计算出结果。
【解析】
已知$x^2 + x = 1$，对代数式$2x^4 + 2x^3 + 2x + 1$进行变形计算：
1. 分组提取公因式：
$2x^4 + 2x^3 + 2x + 1 = 2x^2(x^2 + x) + 2x + 1$
2. 代入$x^2 + x = 1$降次：
$= 2x^2 × 1 + 2x + 1 = 2x^2 + 2x + 1$
3. 再次提取公因式并整体代入：
$= 2(x^2 + x) + 1 = 2 × 1 + 1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
代数式降次求值、整体代入法、提取公因式法
【点评】
本题主要考查整体代入思想和降次法在代数式求值中的应用，无需求解方程的根，通过对高次项逐步降次、整体替换，可快速简化运算，避免复杂的无理数计算，培养学生的转化与化归思维。
【难度系数】
0.7
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