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【分析】
本题是矩形中的翻折问题，解题思路如下：
1. 先根据翻折的性质作出折痕：以F为圆心，BF长为半径画弧，在AD上找到B的对应点B'，再作BB'的垂直平分线，与矩形的边交于点G，线段FG即为折痕；
2. 分两种情况讨论：折痕FG与AB交于G，或与AD交于G；
3. 每种情况中，先利用矩形的性质和勾股定理求出AB'的长度，再设未知线段为x，结合翻折后对应边相等的性质，用勾股定理建立方程求出x，最后再次利用勾股定理计算FG的长度。
【解析】
作图步骤（保留痕迹）：
① 当点$G$落在边$AB$上时：以点$F$为圆心，$BF$的长为半径画弧，在靠近点$A$处交$AD$于点$B'$，连接$BB'$，作线段$BB'$的垂直平分线，交$AB$于点$G$，线段$FG$即为所求；
② 当点$G$落在边$AD$上时：以点$F$为圆心，$BF$的长为半径画弧，在靠近点$D$处交$AD$于点$B'$，连接$BB'$，作线段$BB'$的垂直平分线，交$AD$于点$G$，线段$FG$即为所求。
计算$FG$的长度：
情况1：点$G$落在$AB$上
连接$B'G$，$B'F$，过点$F$作$FH ⊥ AD$，垂足为$H$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，$F$为$BC$中点，$AB=8$，$BC=20$，
∴ $AH = BF = \frac{1}{2}BC = 10$，$FH = AB = 8$。
由翻折的性质可知：$BG = B'G$，$B'F = BF = 10$。
在$\mathrm{Rt}△B'FH$中，由勾股定理得：
$B'H = \sqrt{B'F^{2} - FH^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6$，
∴ $AB' = AH - B'H = 10 - 6 = 4$。
设$BG = B'G = x$，则$AG = 8 - x$，
在$\mathrm{Rt}△AB'G$中，由勾股定理得：
$AG^{2} + AB'^{2} = B'G^{2}$，即$(8 - x)^{2} + 4^{2} = x^{2}$，
展开得：$64 - 16x + x^{2} + 16 = x^{2}$，
整理得：$16x = 80$，解得$x = 5$。
在$\mathrm{Rt}△BFG$中，由勾股定理得：
$FG = \sqrt{BG^{2} + BF^{2}} = \sqrt{5^{2} + 10^{2}} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$。
情况2：点$G$落在$AD$上
连接$B'F$，$BG$，过点$F$作$FH ⊥ AD$，垂足为$H$。
同理可得：$AH = BF = 10$，$FH = AB = 8$，$B'F = BF = 10$。
在$\mathrm{Rt}△B'FH$中，$B'H = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6$，
∴ $AB' = AH + B'H = 10 + 6 = 16$。
设$BG = B'G = x$，则$AG = 16 - x$，
在$\mathrm{Rt}△ABG$中，由勾股定理得：
$AB^{2} + AG^{2} = BG^{2}$，即$8^{2} + (16 - x)^{2} = x^{2}$，
展开得：$64 + 256 - 32x + x^{2} = x^{2}$，
整理得：$32x = 320$，解得$x = 10$。
∴ $AG = 16 - 10 = 6$，$GH = AH - AG = 10 - 6 = 4$。
在$\mathrm{Rt}△FGH$中，由勾股定理得：
$FG = \sqrt{FH^{2} + GH^{2}} = \sqrt{8^{2} + 4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
综上所述，$FG$的长为$5\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$。
【答案】
$FG$的长为$\boldsymbol{5\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{4\sqrt{5}}$（或$\sqrt{125}$或$\sqrt{80}$）
【知识点】
矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；勾股定理
【点评】
本题考查了矩形性质、翻折变换的性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑到折痕的两种位置情况，避免漏解，同时要熟练利用翻折的对应边相等性质，结合勾股定理建立方程求解未知线段。
【难度系数】
0.6

【分析】
本题是最短路径的作图问题，核心思路是利用“两点之间线段最短”，结合轴对称的性质，将折线型的路径转化为直线型路径来找到最短路径的点：
1. 对于(1)：直线$ l $同侧有$ A $、$ B $两点，要找$ l $上一点$ P $使$ PA+PB $最短，根据轴对称，作其中一点关于直线$ l $的对称点，将同侧点转化为异侧，此时连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求，因为对称后$ PA=PA' $，$ PA+PB=PA'+PB $，线段$ A'B $的长度就是最小值（两点之间线段最短）。
2. 对于(2)：正方形的对角线$ BD $是对称轴，点$ A $关于$ BD $的对称点是$ C $，因此$ PA=PC $，那么$ PA+PE=PC+PE $，要使这个和最短，只需连接$ CE $，$ CE $与$ BD $的交点就是$ P $，此时$ PC+PE $的最小值为$ CE $的长度（两点之间线段最短）。
3. 对于(3)：要使$ EM+MN+NA $最短，需分别将$ EM $和$ NA $转化为与$ MN $共线的线段，作$ E $关于$ BC $的对称点$ E' $，则$ EM=E'M $；作$ A $关于$ CD $的对称点$ A' $，则$ NA=NA' $，此时$ EM+MN+NA=E'M+MN+NA' $，当$ E' $、$ M $、$ N $、$ A' $四点共线时，这个和最短，所以连接$ E'A' $，与$ BC $、$ CD $的交点即为$ M $、$ N $。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 作点$ A $关于直线$ l $的对称点$ A' $；
② 连接$ A'B $，交直线$ l $于点$ P $，点$ P $即为所求。
(2) 作图步骤：
① 利用正方形的对称性，正方形$ ABCD $中，点$ A $与点$ C $关于对角线$ BD $对称；
② 连接$ CE $，交$ BD $于点$ P $，点$ P $即为所求。
(3) 作图步骤：
① 作点$ E $关于$ BC $的对称点$ E' $；
② 作点$ A $关于$ CD $的对称点$ A' $；
③ 连接$ E'A' $，分别交$ BC $于点$ M $、交$ CD $于点$ N $，点$ M $、$ N $即为所求。
【答案】
(1) 作点$ A $关于直线$ l $的对称点$ A' $，连接$ A'B $交直线$ l $于点$ P $，点$ P $即为所求；
(2) 连接$ CE $交$ BD $于点$ P $，点$ P $即为所求（点$ A $关于$ BD $的对称点为点$ C $）；
(3) 作点$ E $关于$ BC $的对称点$ E' $，作点$ A $关于$ CD $的对称点$ A' $，连接$ E'A' $分别交$ BC $于点$ M $、交$ CD $于点$ N $，点$ M $、$ N $即为所求。
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，正方形的对称性
【点评】
本题考查最短路径问题的作图，核心是利用轴对称将折线路径转化为直线路径，结合“两点之间线段最短”的基本事实求解，需要理解对称点的作用，掌握常见对称图形的性质，培养转化思想。
【难度系数】
0.6