【分析】
(1) 要证明$AE// CF$，可先利用正方形对边平行且相等的性质，结合E、F是中点的条件，证明四边形$AFCE$是平行四边形，根据平行四边形对边平行即可得证；
(2) 要证明$∠ AGE=90°$，先由(1)的结论$AE// CF$结合$DG⊥ CF$，推出$DG⊥ AE$，再利用直角三角形斜边中线性质得到$EG=ED$，结合垂直平分线性质得到$AG=AD$，最后通过SSS证明$△ ADE≌△ AGE$，利用全等三角形对应角相等即可证得；
(3) 求$CG$的长度，可先利用勾股定理求出$CF$的长，再通过证明$△ CDG∽△ FCB$，利用相似三角形对应边成比例计算，或用面积法结合勾股定理求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB = CD$，$AB // CD$．
∵ $E$，$F$分别为$CD$，$AB$的中点，
∴ $AF = \frac{1}{2}AB$，$CE = \frac{1}{2}CD$，
∴ $AF = CE$，且$AF // CE$，
∴ 四边形$AFCE$是平行四边形，
∴ $AE // CF$；
(2) 证明：
设$AE$与$DG$交于点$H$，
由(1)知$AE // CF$，又$DG ⊥ CF$，
∴ $DG ⊥ AE$，即$∠ AHD = 90°$．
∵ $E$是$CD$的中点，在$Rt△ DGC$中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$EG = ED = EC$．
∵ $DG ⊥ AE$，$H$为$DG$中点，
∴ $AE$垂直平分$DG$，
∴ $AG = AD$．
在$△ ADE$和$△ AGE$中，
$\begin{cases}AD = AG, \\AE = AE, \\ED = EG,\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ AGE (\mathrm{SSS})$，
∴ $∠ AGE = ∠ ADE = 90°$；
(3) 解：
∵ 正方形的边长为2，
∴ $BC = 2$，$BF = \frac{1}{2}AB = 1$，
在$Rt△ CBF$中，由勾股定理得：
$CF = \sqrt{BC^2 + BF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$．
∵ $∠ CGD = ∠ B = 90°$，$∠ DCG = ∠ FCB$，
∴ $△ CDG ∽ △ FCB$，
∴ $\frac{CG}{CB} = \frac{CD}{CF}$，
即$\frac{CG}{2} = \frac{2}{\sqrt{5}}$，
解得$CG = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$．
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查正方形、平行四边形、全等三角形及相似三角形的相关知识，解题关键是熟练掌握正方形的边与角的性质，灵活运用平行四边形、全等、相似的判定定理解决问题，第(3)问方法多样，可根据自身知识储备选择合适的解法。
【难度系数】
0.6
